[论文解读] Geometric realization of special cases of local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过局部兰道-朗兰兹对应与雅克布-朗兰兹对应，为 $p$-进域的度数为 $n$ 的非分歧扩张上的特定一类特征，提供了超卡普斯迪尔表示的几何构造。作者利用卢比内-塔特塔中的仿射子空间，构造了相应的 $GL_n(F)$ 与 $D^\times$-表示，而无需依赖有限域上的韦尔表示，从而简化并精简了这些对应关系在最小允许情形下的证明。

ABSTRACT

Let F be a non-Archimedean local field and let E be an unramified extension of F of degree n>1. To each sufficiently generic multiplicative character of E (the details are explained in the body of the paper) one can associate an irreducible n-dimensional representation of the Weil group W_F of F, which corresponds to an irreducible supercuspidal representation π of GL_n(F) via the local Langlands correspondence. In turn, via the Jacquet-Langlands correspondence, π corresponds to an irreducible representation ρ of the multiplicative group of the central division algebra over F with invariant 1/n. In this note we give a new geometric construction of the representations π and ρ, which is simpler than the existing algebraic approaches (in particular, the use of the Weil representation over finite fields is eliminated).

研究动机与目标

• 为 $GL_n(F)$ 的不可约超卡普斯迪尔表示以及 $D^\times$ 的相应表示（其中 $D$ 是 $F$ 上的中心除法代数且不变量为 $1/n$）提供显式的几何构造。
• 通过避免使用有限域上的韦尔表示，简化局部兰道-朗兰兹与雅克布-朗兰兹对应在最小允许情形下的证明。
• 提供一份自包含且详尽的阐述，作为 $p$-进表示理论领域新研究者的学习资源。

提出的方法

• 该构造基于第二作者引入的局部域 $F$ 的卢比内-塔特塔中的仿射子空间的几何框架。
• 定义了 $GL_n(F)$ 的一个紧开子群 $J$ 及其子群 $J_+$，并将其商 $J/J_+$ 识别为幂零群 $U(\bar{\bbF}_{q^n})$。
• 通过一个水平为 $r_0 \geq 2$ 的特征 $\theta$ 作用于 $H^{n-1}_c(X \times \bar{\bbF}_q, \bar{\bbQ}_\bl)$ 上的上同调表示的拉回，构造了 $D^\times$ 的表示 $\rho$。
• 特征 $\theta$ 被提升为 $E^\times \ltimes J$ 上的表示，其在商群 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 上下降为表示 $\theta \otimes \sigma_0$，然后诱导得到 $GL_n(F)$ 的超卡普斯迪尔表示 $\pi$。
• 不可约性的证明依赖于互换性质，且任何互换算子必须保持 $r_0$-级结构，从而控制了紧开子群的正规化子。
• 该构造通过使用卢比内-塔特塔中的几何数据避免了韦尔表示，相较于以往的代数方法，提供了更直接且更精简的论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在最小允许对 $(E^\times, \theta)$ 且 $\theta$ 的水平满足 $r_0 \geq 2$ 的情形下，几何地实现局部兰道-朗兰兹对应？
• RQ2 能否在不依赖有限域上韦尔表示的前提下，显式构造雅克布-朗兰兹对应？
• RQ3 卢比内-塔特塔中的仿射子空间在实现 $GL_n(F)$ 与 $D^\times$ 的超卡普斯迪尔表示中起到何种作用？
• RQ4 该几何构造如何简化标准代数方法对局部兰道-朗兰兹与雅克布-朗兰兹对应关系的证明？

主要发现

• 表示 $\pi = \operatorname{Ind}_{E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G}^{GL_n(F)}(\sigma)$ 是 $GL_n(F)$ 的一个不可约超卡普斯迪尔表示，通过从紧开子群上的表示 $\sigma$ 几何诱导构造而成。
• 表示 $\rho$ 的 $D^\times$ 是通过卢比内-塔特塔中合适仿射子簇的上同调的拉回构造的，且在雅克布-朗兰兹对应下与 $\pi$ 对应。
• 水平为 $r_0 \geq 2$ 且在 ${\rm Gal}(E/F)$ 下稳定的特征 $\theta$ 的 $E^\times$ 通过从 $\mathcal{W}_E$ 的诱导，给出韦尔群 $\mathcal{W}_F$ 的一个光滑不可约 $n$-维表示 $\sigma_\theta$。
• 表示 $\sigma$ 在 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 上的迹满足 $\operatorname{tr}\sigma(x) = (-1)^{n-1} \cdot \theta(x)$，对非常正则的 $x \in \mathcal{O}_E^\times$ 成立，确认了预期的特征关系。
• 该构造避免了使用有限域上的韦尔表示，为最小情形下的对应关系提供了更几何化且更精简的证明。
• 证明了 $GL_n(F)$ 中紧开子群 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 的正规化子即为其自身，从而通过标准互换论证确保了诱导表示 $\pi$ 的不可约性。