[论文解读] Cohomological support loci for Abel-Prym curves

Sebastian Casalaina Martin, Martí Lahoz+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文确定了嵌入其Prym簇中的Abel-Prym曲线的上同调支集和theta-对偶维数。对于在维数为 $g-1$ 的Prym簇中、亏格为 $ ilde{g} = 2g-1$ 的非双全纯Abel-Prym曲线，证明了theta-对偶的维数为 $g-4$，并完全刻画了扭曲理想层 $ olinebreak col{I}_{ olinebreak col{\widetilde{C}}}(\Xi)$ 和 $ olinebreak col{I}_{ olinebreak col{\widetilde{C}}}(2\Xi)$ 的上同调支集，通过上同调群的消失与非消失性揭示其结构。

ABSTRACT

For an Abel-Prym curve contained in a Prym variety, we determine the cohomological support loci of its twisted ideal sheaves and the dimension of its theta-dual.

研究动机与目标

• 确定嵌入其Prym簇中的Abel-Prym曲线的theta-对偶维数。
• 计算Prym簇上扭曲理想层 $ olinebreak col{I}_{ olinebreak col{\widetilde{C}}}(n\Xi)$ 的上同调支集 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(n\Xi))$（$n=1,2$）。
• 通过通用消失理论和傅里叶-Mukai变换理解支集的结构。
• 对Abel-Prym曲线扭曲理想层的上同调支集给出精确刻画。

提出的方法

• 利用阿贝尔簇上相干层的上同调支集和通用消失理论。
• 应用以Poincaré线丛为核的傅里叶-Mukai变换，分析上同调的消失与非消失性。
• 采用theta-对偶的定义 $V(X) = V^0(\mathcal{I}_X(\Theta))$ 来识别包含该曲线的theta平移的集合。
• 利用 $ olinebreak col{\widetilde{C}}$ 通过典范映射嵌入 $P$ 的事实，且 $P$ 是一个主极化阿贝尔簇，其极化为 $\Xi$。
• 应用Pareschi-Popa关于 $GV_k$-层及曲线上线性系列结构的结果。
• 运用Mumford的奇偶性技巧和关联簇分析线性系统的基点自由性与满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Abel-Prym曲线在Prym簇中的theta-对偶维数是多少？
• RQ2 上同调支集 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi))$ 在 $i=0,1,2,\geq3$ 时的行为如何？
• RQ3 上同调支集 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi))$ 在 $i=0,1,2,\geq3$ 时的结构是什么？
• RQ4 限制映射 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$ 在什么条件下是满射？
• RQ5 当 $\alpha$ 属于 $\Xi^+_E$ 时，$\widetilde{C}$ 上的线性系统 $|E \otimes \alpha|$ 在什么条件下无基点？

主要发现

• Abel-Prym曲线的theta-对偶 $V(\widetilde{C})$ 的维数为 $g-4$。
• 对于 $ olinebreak col{I}_{ olinebreak col{\widetilde{C}}}(\Xi)$，支集满足 $V^0 = V^1 = V(\widetilde{C})$，$V^2 = P$，且当 $i \geq 3$ 时 $V^i = \emptyset$。
• 对于 $ olinebreak col{I}_{ olinebreak col{\widetilde{C}}}(2\Xi)$，当 $g \geq 4$ 时 $V^0 = P$，当 $g = 3$ 时 $V^0 = \{0\}$；$V^1 = V^2 = \{0\}$，且当 $i \geq 3$ 时 $V^i = \emptyset$。
• 对一般 $E \in \Xi^+_E$，限制映射 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$ 是满射。
• 对一般 $\alpha \in \Xi^+_E$，线性系统 $|E \otimes \alpha|$ 是基点自由的，且 $h^0(E \otimes \alpha) = 2$。
• 通过构造 $\tilde{g}-1$ 个独立的除子 $E_{\alpha,j} + E'_{\alpha,j}$ 在 $\widetilde{C}$ 上，表明 $\mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2E)$ 的截面空间维数为 $\tilde{g}-1$。