[论文解读] Cohomologies of deformations of solvmanifolds and closedness of some properties

Daniele Angella, Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 25

一句话总结

本文提出了一套计算可溶李群商流形形变的Dolbeault与Bott-Chern上同调的技巧，利用有限维子复形，证明了$\partial\bar{\partial}$-引理与Frolicher谱序列的$E_1$-退化性在全纯形变下不具有闭包性。文中提供了明确的例子，包括形变后的Nakamura流形，表明尽管在邻近形变中这些性质成立，但在极限情况下却失效。

ABSTRACT

We provide further techniques to study the Dolbeault and Bott-Chern cohomologies of deformations of solvmanifolds by means of finite-dimensional complexes. By these techniques, we can compute the Dolbeault and Bott-Chern cohomologies of some complex solvmanifolds, and we also get explicit examples, showing in particular that either the $\partial\overline{\partial}$-Lemma or the property that the Hodge and Frölicher spectral sequence degenerates at the first level are not closed under deformations.

研究动机与目标

• 将计算可溶李群商流形在全纯形变下Dolbeault与Bott-Chern上同调的技术加以拓展。
• 研究共形性质——特别是$\partial\bar{\partial}$-引理与$E_1$-退化性——在小的全纯形变下的稳定性。
• 提供明确的例子，显示在形变族的极限处这些性质失效，尽管在除极限点外的所有点上均成立。
• 澄清在形变下共形性质的开性与闭性（在Zariski拓扑中）之间的区别。

提出的方法

• 利用微分形式双复形的有限维子复形，计算形变后可溶李群商流形的Dolbeault与Bott-Chern上同调。
• 应用复结构的形变理论，特别是通过Kodaira-Spencer理论的小形变，分析可溶李群商流形上复结构族$\{J_t\}_{t \in B}$。
• 利用$\partial\bar{\partial}$-引理条件与谱序列退化性作为共形不变量，检验其在形变下的稳定性。
• 分析全纯平行化Nakamura流形及其小形变，构造闭包性失效的反例。
• 利用$H^{\bullet,\bullet}_{\bar{\partial}}(B_\Gamma^{\bullet,\bullet}(t)) \cong H^{\bullet,\bullet}_{\bar{\partial}_t}(\Gamma \backslash G)$的事实，将上同调计算归约为有限维复形。
• 应用先前关于幂零流形与可溶李群商流形的研究成果，将上同调的可计算性扩展至原始结构类之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 可溶李群商流形的全纯形变是否保持$\partial\bar{\partial}$-引理？
• RQ2 Hodge与Frolicher谱序列的$E_1$-退化性在小的全纯形变下是否保持稳定？
• RQ3 能否有效利用有限维子复形计算形变后可溶李群商流形的Dolbeault与Bott-Chern上同调？
• RQ4 是否存在明确的例子，使得$\partial\bar{\partial}$-引理在除极限形变外的所有情况下均成立，但在极限处失效？
• RQ5 即使形变后的可溶李群商流形不是复环面上的全纯纤维丛，其Dolbeault上同调是否仍可计算？

主要发现

• 全纯形变下$\partial\bar{\partial}$-引理不具有闭包性：存在一族$\{X_t\}_{t \in \Delta}$，使得当$t_k \to 0$时，$X_{t_k}$满足$\partial\bar{\partial}$-引理，但$X_0$不满足。
• Hodge与Frolicher谱序列的$E_1$-退化性在全纯形变下不具有闭包性，证实了在Zariski拓扑下的非闭包性。
• 对于形变后的Nakamura流形，有$\dim H^{1,0}_{\bar{\partial}_t}(X) = 0$且$\dim H^{2m+1,0}_{\bar{\partial}_t}(X) = 0$，表明存在非平凡的共形行为。
• 通过$t \frac{\partial}{\partial z} \otimes e^{k_1 z} \bar{y}_{2,1}$构造的形变可溶李群商流形不是复环面上的全纯纤维丛，提供了新的可计算例子。
• 形变后可溶李群商流形的Dolbeault上同调同构于有限维子复形$B_\Gamma^{\bullet,\bullet}(t)$的上同调，从而实现了有效计算。
• 该例子表明，某些满足$\partial\bar{\partial}$-引理的紧致复流形不属于Fujiki类$\mathcal{C}$，对类$\mathcal{C}$稳定性提出了挑战。