[论文解读] Cohomology of line bundles on compactified Jacobians

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|May 2, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于具有平面奇点的积分射影曲线 $C$，其紧化雅可比簇 $̅{J}$ 满足某种自对偶性：$̅{J}$ 上的拓扑平凡线丛与 $C$ 上的线丛之间存在一一对应关系，且从 $D^b(J)$ 到 $D^b(̅{J})$ 的导出傅里叶- Mukai 变换是完全忠实的。关键结果将经典的 Mukai 自对偶公式推广到了奇异曲线的情形。

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with surficial singularities. We prove that topologically trivial line bundles on the compactified Jacobian of C are in one-to-one correspondence with line bundles on C (the autoduality conjecture), and compute the cohomology of the line bundles. We also show that the natural Fourier-Mukai functor between the derived categories of quasi-coherent sheaves on the Jacobian and on the compactified Jacobian is fully faithful.

研究动机与目标

• 建立具有平面奇点的奇异曲线 $C$ 的紧化雅可比簇 $̅{J}$ 的一种自对偶形式。
• 计算 $̅{J}$ 在来自 $C$ 的线丛系数下的上同调。
• 证明从 $J$ 的导出范畴到 $̅{J}$ 的导出范畴的傅里叶- Mukai 变换是完全忠实的。
• 将经典的 Mukai 自对偶公式 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ 推广到奇异情形。
• 将结果与 Higgs 纤维丛理论中的 Hitchin 纤维丛及谱曲线联系起来。

提出的方法

• 使用 $J \times \u0305{J}$ 上的 Poincaré 簇 $P$ 定义傅里叶- Mukai 变换 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\u0305{J})$。
• 证明 $J \times \u0305{J}$ 上的导出上推 $Rp_{1,*}(P)$ 满足 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$，从而推广了经典公式。
• 应用导出范畴的公理化方法，证明傅里叶- Mukai 变换是完全忠实的。
• 依赖于 $C$ 是积分曲线且具有平面奇点的假设，以确保 $̅{J}$ 是不可约且行为良好的。
• 利用 Higgs 纤维丛中的谱曲线构造，将 $̅{J}$ 与 Hitchin 纤维丛的纤维联系起来。
• 通过全族的相对上同调，建立 $̅{J}$ 的上同调与 $H^1(C, \mathcal{O}_C)$ 的外幂之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Mukai 自对偶公式 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ 是否可推广到具有平面奇点的奇异曲线的紧化雅可比簇上？
• RQ2 当 $C$ 具有平面奇点时，从 $D^b(J)$ 到 $D^b(\u0305{J})$ 的傅里叶- Mukai 变换是否完全忠实？
• RQ3 能否将 $J \times \u0305{J}$ 上的 Poincaré 簇作为 $̅{J}$ 上拓扑平凡线丛的普遍族？
• RQ4 $\u0305{J}$ 上线丛系数的上同调与 $C$ 的上同调之间有何关系？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广到 Hitchin 纤维丛及 Higgs 纤维丛的谱曲线？

主要发现

• $J \times \u0305{J}$ 上的导出上推 $Rp_{1,*}P$ 同构于 $\mathcal{O}_\zeta[-g]$，将经典 Mukai 公式推广到了奇异曲线的情形。
• 由 $P$ 定义的傅里叶- Mukai 变换 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\u0305{J})$ 是完全忠实的。
• $\u0305{J}$ 上的拓扑平凡线丛与 $C$ 上的线丛之间存在一一对应关系，从而在 $̅{J}$ 上建立了自对偶性。
• $\u0305{J}$ 上线丛系数的上同调满足 $H^i(\u0305{J}, \mathcal{O}_{\u0305{J}}) \simeq \bigwedge^i H^1(C, \mathcal{O}_C)$。
• 结果与 Hitchin 纤维丛相容：对于积分谱曲线 $C$，相对上同调 $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs}$ 同构于 $\Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}^\prime}$。
• 同构 $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs} \simeq \Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}}$ 可推广至所有谱曲线，如 Frenkel 与 Teleman 所示，且可用于恢复本研究的部分结果。