[论文解读] Cohomology of the vector fields Lie algebra and modules of differential operators on a smooth manifold

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|May 11, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文计算了光滑流形上向量场李代数在对称协变张量场上的线性微分算子空间上的第一上同调空间。关键结果建立了该上同调与张量密度上微分算子模之间的直接联系，通过上同调不变量对这类算子进行了完全分类。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold, $\cal S$ the space of polynomial on fibers functions on $T^*M$ (i.e., of symmetric contravariant tensor fields). We compute the first cohomology space of the Lie algebra, $Vect(M)$, of vector fields on $M$ with coefficients in the space of linear differential operators on $\cal S$. This cohomology space is closely related to the $Vect(M)$-modules, ${\cal D}_λ(M)$, of linear differential operators on the space of tensor densities on $M$ of degree $λ$.

研究动机与目标

• 计算光滑流形上向量场李代数在对称协变张量场上的线性微分算子空间上的第一上同调空间。
• 阐明该上同调与流形上度数为 λ 的张量密度上微分算子模之间的关系。
• 通过向量场李代数的结构，对张量密度上的自然微分算子进行上同调分类。
• 通过李代数上同调技术，扩展对流形上自然微分算子的理解。

提出的方法

• 作者分析了光滑向量场的李代数 Vect(M) 在余切丛 T*M 上多项式函数空间 S 上的作用，S 与对称协变张量场相等同。
• 他们计算了第一上同调群 H¹(Vect(M), D)，其中 D 是 S 上线性微分算子的空间。
• 该计算依赖于张量密度上的微分算子模 Dλ(M) 的结构及其在 Vect(M)-模同构下的等价类。
• 作者利用 Dλ(M) 构成一个以 λ ∈ ℝ 为参数的 Vect(M)-模族，并将其上同调与这些模的结构联系起来。
• 该方法涉及识别对称张量场之间 Vect(M)-等变微分算子的空间，并使用表示论技术。
• 关键技术步骤是将上同调计算约化为不变双线性型的研究，以及对微分算子空间上 Vect(M)-模结构的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑流形上向量场李代数在对称协变张量场上的线性微分算子空间上的第一上同调空间是什么？
• RQ2 该上同调如何与流形上度数为 λ 的张量密度上微分算子模相关联？
• RQ3 哪些张量密度上的微分算子是通过向量场李代数的作用自然定义的？
• RQ4 能否通过上同调方法完全确定 Vect(M)-模的微分算子分类？
• RQ5 参数 λ 在模 Dλ(M) 的结构及其上同调不变量中起什么作用？

主要发现

• 第一上同调空间 H¹(Vect(M), D) 被显式计算，并表明其分类了微分算子空间上 Vect(M)-模结构的等价类。
• 上同调空间同构于特定 λ 值下张量密度模 Dλ(M) 之间 Vect(M)-等变微分算子的空间。
• 计算表明，唯一非平凡的上同调源于 Vect(M) 对张量密度的自然作用，且为有限维。
• 该结果建立了第一上同调与自然微分算子空间在张量密度上的完全对应关系。
• 本文表明模 Dλ(M) 由 λ ∈ ℝ 参数化，其上同调分类完全由 λ-不变结构决定。
• 作者证明了上同调群捕获了微分算子上 Vect(M)-模结构的所有可能形变（模等价）。