[论文解读] Colouring and Covering Nowhere Dense Graphs

Martin Grohe, Stephan Kreutzer+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过弱和强着色数的紧致界，证明了单调图类存在稀疏邻域覆盖当且仅当其为处处无稠密图类。研究证明了当 $ r \geq 3 $ 时，计算弱 $ r $-着色数为 NP-完全问题，解决了关于多项式扩张类的一个问题，并在各类图类中建立了广义着色数的精确上下界。

ABSTRACT

It was shown by Grohe et al. that nowhere dense classes of graphs admit sparse neighbourhood covers of small degree. We show that a monotone graph class admits sparse neighbourhood covers if and only if it is nowhere dense. The existence of such covers for nowhere dense classes is established through bounds on so-called weak colouring numbers. The core results of this paper are various lower and upper bounds on the weak colouring numbers and other, closely related generalised colouring numbers. We prove tight bounds for these numbers on graphs of bounded tree width. We clarify and tighten the relation between the expansion (in the sense of "bounded expansion" as defined by Nesetril and Ossona de Mendez) and the various generalised colouring numbers. These upper bounds are complemented by new, stronger exponential lower bounds on the generalised colouring numbers. Finally, we show that computing weak r-colouring numbers is NP-complete for all r>2.

研究动机与目标

• 使用广义着色数表征存在稀疏邻域覆盖的单调图类。
• 澄清浅子图密度与广义着色数之间的关系。
• 在不同图类中建立弱和强着色数的紧致上下界。
• 解决关于多项式扩张类中弱着色数的一个开放问题。
• 证明当 $ r \geq 3 $ 时，计算弱 $ r $-着色数的计算复杂性。

提出的方法

• 使用弱 $ r $-着色数作为关键工具，表征处处无稠密图类中的稀疏邻域覆盖。
• 应用广义着色数的组合界，推导出邻域覆盖的度数界。
• 通过从平衡完全二分图子图（BCBS）问题的约化，证明计算弱 $ r $-着色数的 NP-完全性。
• 为树宽为 $ k $ 的图建立弱着色数的紧致上界，表明 $\mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}(r^k)$。
• 为排除固定图作为拓扑子图的图类建立指数级上界 $\mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r)$。
• 为多项式扩张类构造超多项式下界，表明其增长快于 $ r $ 的任意多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些单调图类存在稀疏邻域覆盖，其特征是什么？
• RQ2 对于树宽至多为 $ k $ 的图，弱和强 $ r $-着色数的紧致上下界是什么？
• RQ3 多项式扩张类是否必然具有多项式有界的弱着色数？
• RQ4 当 $ r \geq 3 $ 时，计算弱 $ r $-着色数是否为 NP-完全问题？
• RQ5 浅子图密度与广义着色数（如 $\mathrm{wcol}_r$、$\mathrm{col}_r$ 和 $\mathrm{adm}_r$）之间有何关系？

主要发现

• 单调图类存在稀疏邻域覆盖当且仅当其为处处无稠密图类，这为文献 [12] 中结果的逆命题提供了证明。
• 对于树宽至多为 $ k $ 的图，弱 $ r $-着色数有界于 $\mathcal{O}(r^k)$，且该界是紧致的。
• 对于排除固定图作为拓扑子图的图类，弱 $ r $-着色数有界于 $\mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r)$，且由于在有界度数类中存在指数级下界，该界近乎最优。
• 存在多项式扩张类，其弱 $ r $-着色数在 $ r $ 上超多项式增长，从而以否定方式回答了 Joret 和 Wood 的问题。
• 通过从平衡完全二分图子图问题的约化，证明了当所有 $ r \geq 3 $ 时，计算弱 $ r $-着色数为 NP-完全问题。
• 对于二分图的补图，弱 $ r $-着色数在 $ r=3 $ 时即稳定，即对所有 $ r \geq 3 $，有 $\mathrm{wcol}_r(\bar{G}) = \mathrm{wcol}_3(\bar{G})$。