[论文解读] Combinatorial manifolds are Hamiltonian

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文证明了所有连通的 d-图——即通过球面类单位球面归纳定义的组合流形——都是哈密顿图，扩展了惠特尼1931年的结果。该证明是构造性的，表明在这样的图中寻找哈密顿圈可以在多项式时间内完成，相较于一般图具有显著的复杂度优势。

ABSTRACT

Extending a theorem of Whitney of 1931 we prove that all connected d-graphs are Hamiltonian for positive d. A d-graph is a type of combinatorial manifold which is inductively defined as a finite simple graph for which every unit sphere is a (d-1)-sphere. A d-sphere is d-graph such that removing one vertex renders the graph contractible. A graph is contractible if there exists a vertex for which the unit sphere and the graph without that vertex are both contractible. These inductive definitions are primed with the assumptions that the empty graph 0 is the (-1)-sphere and that the one-point graph 1 is the smallest contractible graph. The proof is constructive and shows that unlike for general graphs, the complexity of the construction of Hamiltonian cycles in d-graphs is polynomial in the number of vertices of the graph.

研究动机与目标

• 将惠特尼1931年关于2-球面上哈密顿圈的结果推广到高维组合流形。
• 确立所有连通的 d-图（通过归纳的球面和可缩性条件定义）均存在哈密顿圈。
• 证明在 d-图中构造哈密顿圈的时间复杂度为多项式时间，而一般图则不然。
• 利用 d-球面和可缩图的归纳定义，提供一种构造性证明。

提出的方法

• 通过归纳法定义 d-图：d-图是有限简单图，其每个单位球面均为 (d-1)-球面。
• 将 d-球面定义为：在移除一个顶点后变为可缩的 d-图。
• 使用归纳基础情形：空图是 (−1)-球面，单点图是最小的可缩图。
• 通过存在一个顶点，其移除后本身及其单位球面均为可缩图，来定义可缩性。
• 对维度 d 进行归纳，递归构造哈密顿圈。
• 通过保持图结构的局部控制，确保构造过程在顶点数上为多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有连通的 d-图在 d > 0 时是否都是哈密顿图，从而推广惠特尼对2-球面的结果？
• RQ2 能否设计一种在 d-图中构造哈密顿圈的构造性算法，且时间复杂度为多项式？
• RQ3 球面和可缩性的归纳定义如何促成哈密顿圈的存在？
• RQ4 与一般图相比，d-图中构造哈密顿圈的计算复杂度如何？

主要发现

• 所有连通的 d-图在任意正整数维度 d 下都是哈密顿图。
• 该证明是构造性的，明确在图中构建了哈密顿圈。
• 在 d-图中构造哈密顿圈的时间复杂度在顶点数上为多项式时间。
• 该构造依赖于使用空图和单点图作为基础情形的 d-球面和可缩图的归纳定义。
• 该方法通过利用单位球面的局部拓扑结构，避免了指数级膨胀。
• 该结果将惠特尼1931年的定理由2-球面推广至所有作为 d-图定义的组合流形。