[论文解读] Graphs with Eulerian unit spheres

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文通过证明一个d-球面是欧拉的当且仅当所有(d−2)维单纯形的度数为偶数，给出了欧拉d-球面——即(d+1)-可着色的几何d-球面——的图论刻画。该结果推广了2-球面的凯普-希伍德定理，并通过将2-球面嵌入欧拉3-球面，利用对偶图和边细分来保持拓扑与着色性质，为证明四色定理提供了潜在的几何路径。

ABSTRACT

d-spheres in graph theory are inductively defined as graphs for which all unit spheres S(x) are (d-1)-spheres and that the removal of one vertex renders the graph contractible. Eulerian d-spheres are geometric d-spheres which are d+1 colorable. We prove here that G is an Eulerian sphere if and only if the degrees of all the (d-2)-dimensional sub-simplices in G are even. This generalizes a Kempe-Heawood result for d=2 and is work related to the conjecture that all d-spheres have chromatic number d+1 or d+2 which is based on the geometric conjecture that every d-sphere can be embedded in an Eulerian (d+1)-sphere. For d=2, such an embedding into an Eulerian 3-sphere would lead to a geometric proof of the 4 color theorem, allowing to see "why 4 colors suffice". To achieve the goal of coloring a d-sphere G with d+2 colors, we hope to embed it into a (d+1)-sphere and refine or thin out the later using special homotopy deformations without touching the embedded sphere. Once rendered Eulerian and so (d+2)-colorable, it colors the embedded graph G. In order to define the degree of a simplex, we introduce a notion of dual graph H' of a subgraph H in a general finite simple graph G. This leads to a natural sphere bundle over the simplex graph. We look at geometric graphs which admit a unique geodesic flow: their unit spheres must be Eulerian. We define Platonic spheres graph theoretically as d-spheres for which all unit spheres S(x) are graph isomorphic Platonic (d-1)-spheres. Gauss-Bonnet allows a classification within graph theory: all spheres are Platonic for d=1, the octahedron and icosahedron are the Platonic 2-spheres, the sixteen and six-hundred cells are the Platonic 3-spheres. The cross polytop is the unique Platonic d-sphere for d>3. It is Eulerian.

研究动机与目标

• 建立识别欧拉d-球面的图论准则，即d-球面存在最小(d+1)-着色。
• 将2-球面的凯普-希伍德定理推广至高维几何图。
• 探讨所有d-球面是否可嵌入欧拉(d+1)-球面的猜想，若成立则意味着色数上界为d+2。
• 定义并分析子图对偶图在刻画单纯形度数与欧拉性质中的作用。
• 研究边细分与坍缩是否能将任意d-球面变换为同一类中的另一d-球面，同时保持欧拉结构。

提出的方法

• 通过单位球面与可缩性归纳定义d-球面，将(−1)-球面定义为空图。
• 在有限简单图G中，引入子图H的对偶图̂H，以定义(d−2)-单纯形的度数为̂H中其对偶圈的长度。
• 证明d-球面是欧拉的当且仅当其所有(d−2)维单纯形在对偶图中的度数为偶数。
• 利用边细分与坍缩作为同伦移动，翻转(d−2)-球面中极大单纯形的度数奇偶性。
• 应用高斯-博内定理与同伦理论，对柏拉图d-球面进行分类，并分析几何图中的测地线流。
• 提出一种几何嵌入策略：将d-球面嵌入欧拉(d+1)-球面，再通过细分保持欧拉结构，从而实现(d+2)-着色。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种图论条件下，d-球面是欧拉的，即(d+1)-可着色？
• RQ2 每个d-球面是否都可嵌入欧拉(d+1)-球面？这会对色数猜想产生何种影响？
• RQ3 边细分与坍缩是否能生成d-球面之间所有保持欧拉结构的同伦等价？
• RQ4 欧拉几何图类是否等价于其对偶图为二分图的图类？
• RQ5 对偶图构造在刻画单纯形度数与欧拉性质中起何种作用？

主要发现

• d-球面是欧拉的当且仅当所有(d−2)维单纯形在对偶图中的度数为偶数，其中度数通过单纯形的对偶图定义。
• 该结果将2-球面的凯普-希伍德定理推广至所有d ≥ 2的维度。
• 所有d > 3的柏拉图d-球面同构于单纯形，而单纯形是欧拉的。
• 边细分与坍缩作为同伦移动，可翻转(d−2)-球面中极大单纯形的度数奇偶性。
• 存在测地线流的几何图类，恰好是所有单位球面均为欧拉的图类。
• 将d-球面嵌入欧拉(d+1)-球面，将为d=2时的四色定理提供几何证明，并支持所有d-球面均为(d+2)-可着色的猜想。