[论文解读] Combinatorial Realization of the Hopf Algebra of Sashes

Shirley Law|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提供了对Malvenuto-Reutenauer置换双代数的一个Hopf子代数的内在组合描述，使用sashes——即用黑色1×1方块、白色1×1方块和白色1×2长方形铺满1×n矩形的铺砌。作者直接在sashes的术语下给出了乘法、余乘法及其对偶的显式公式，证明了sashes的Hopf代数通过一个自然的组合双射同构于Pell置换的Hopf代数。

ABSTRACT

A general lattice theoretic construction of Reading constructs Hopf subalgebras of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra (MR) of permutations. The products and coproducts of these Hopf subalgebras are defined extrinsically in terms of the embedding in MR. The goal of this paper is to find an intrinsic combinatorial description of a particular one of these Hopf subalgebras. This Hopf algebra has a natural basis given by permutations that we call Pell permutations. The Pell permutations are in bijection with combinatorial objects that we call sashes, that is, tilings of a 1 by n rectangle with three types of tiles: black 1 by 1 squares, white 1 by 1 squares, and white 1 by 2 rectangles. The bijection induces a Hopf algebra structure on sashes. We describe the product and coproduct in terms of sashes, and the natural partial order on sashes. We also describe the dual coproduct and dual product of the dual Hopf algebra of sashes.

研究动机与目标

• 为Malvenuto-Reutenauer双代数的一个Hopf子代数提供一个内在的组合描述，该子代数此前仅通过嵌入方式外在定义。
• 通过与sashes一一对应的称为Pell置换的置换，建立该Hopf代数的自然基。
• 在不参考置换的情况下，通过铺砌组合学定义sashes的Hopf代数上的乘法与余乘法运算。
• 通过基于sashes的运算，描述sashes的对偶Hopf代数的对偶乘法与对偶余乘法。
• 证明sashes的Hopf代数通过组合双射同构于Pell置换的Hopf代数。

提出的方法

• 本文在sashes上构造了一个Hopf代数结构——组合对象，通过用黑色1×1瓷砖、白色1×1瓷砖和白色1×2长方形铺满1×n矩形形成。
• 定义两个sashes的乘积为所有保持其内部顺序的铺砌块交错方式的和，对应于置换模型中的移位洗牌。
• 余乘法通过在每个可能位置分割一个sash，并将左右部分标准化为新的sashes来定义。
• 通过对偶映射Inv（将置换映射为其逆）推导出对偶余乘法与对偶乘法，其表达式为对位置子集的求和。
• 作者通过分析铺砌块在弱序下的位置及其相互作用，证明了乘法与余乘法映射的像完全位于sash基内。
• 他们建立了Pell置换与sashes之间的双射，并证明Pell置换上的Hopf代数运算与sashes上定义的运算完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由Pell置换生成的Malvenuto-Reutenauer代数的Hopf子代数提供一个独立于周围置换代数的内在组合描述？
• RQ2 该Hopf代数的乘法与余乘法运算如何通过sash铺砌显式实现？
• RQ3 sashes的对偶Hopf代数的结构是什么？其对偶乘法与对偶余乘法如何与原始运算关联？
• RQ4 是否存在一个sash上的自然偏序，使其在Pell置换双射下对应于置换上的弱序？
• RQ5 能否通过组合构造证明sashes的Hopf代数同构于Pell置换的Hopf代数？

主要发现

• sashes的Hopf代数同构于Pell置换的Hopf代数，同构由sashes与Pell置换之间的自然组合双射诱导。
• 两个sashes的乘积由所有保持其内部顺序的铺砌块交错方式的和给出，对应于置换模型中的移位洗牌。
• 一个sash的余乘法通过在每个可能位置分割并分别将左右部分标准化为新sashes来定义，空sash作为单位元。
• 对偶余乘法表示为对所有位置子集T的求和，其中左部分是sash在T上的限制，右部分是其在T^C上的限制的标准化。
• 对偶乘法由对所有大小为p的子集T的求和给出，结果为将输入sashes在T上的限制与在T^C上的限制连接后进行标准化。
• 本文证明了乘法与余乘法映射的像完全位于sash基内，从而确认了sashes上Hopf代数结构的良定义性。