[论文解读] Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Aug 20, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文构建了在去掉单位根的射影直线上的迭代积分的动机 Hopf 代数，确立了明确的余乘积公式，该公式编码了基本群丛的伽罗瓦对称性。证明了该余乘积对应于非交换概形自同态群的群运算，并通过动机多重 polylogarithm Hopf 代数将该结构与模形式联系起来，其应用涵盖费曼积分与混合 Tate 动机。

ABSTRACT

We define motivic iterated integrals on the affine line, and give a simple proof of the formula for the coproduct in the Hopf algebra of they make. We show that it encodes the group law in the automorphism group of certain non-commutative variety. We relate the coproduct with the coproduct in the Hopf algebra of decorated rooted planar trivalent trees - a planar decorated version of the Hopf algebra defined by Connes and Kreimer. As an application we derive explicit formulas for the coproduct in the motivic multiple polylogarithm Hopf algebra. We give a criteria for a motivic iterated integral to be unramified at a prime ideal, and use it to estimate from above the space spanned by the values of iterated integrals. In chapter 7 we discuss some general principles relating Feynman integrals and mixed motives.

研究动机与目标

• 在具有显式余乘积结构的直线上定义迭代积分的动机 Hopf 代数。
• 将该 Hopf 代数中的余乘积与非交换概形的自同态群联系起来。
• 建立 $\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$ 的动机基本群与 $GL_m$ 的模空间之间的联系。
• 将该框架应用于费曼积分与混合动机，暗示数论与量子场论之间存在深刻联系。
• 证明从动机迭代积分到 Hodge-Tate 周期的周期映射是满射，并在分次情形下猜想其为同构。

提出的方法

• 在数域 $F$ 上的 Hopf 代数 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 中构造动机迭代积分 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$。
• 通过张量代数的断开方式，利用同构 $\mathcal{A}_\bullet(F) \cong T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$，在 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 上定义余乘积 $\Delta$。
• 建立从动机代数到周期代数的典范满同态 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$，在 Hodge 实现中成立。
• 通过 $\varepsilon$ 的渐近展开对发散迭代积分进行正则化，以在 $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ 中定义良定的周期。
• 通过平面装饰的 Connes-Kreimer Hopf 代数版本，将动机 Hopf 代数与带装饰的根平面三价树联系起来。
• 通过将费曼积分与多重 polylogarithm 及混合 Tate 动机联系，将该框架应用于费曼积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在迭代积分的动机 Hopf 代数中编码基本群丛的伽罗瓦对称性？
• RQ2 动机迭代积分 Hopf 代数中余乘积 $\Delta$ 的显式结构是什么？
• RQ3 动机迭代积分如何与 $\mathcal{O}_{F,S}$ 上混合 Tate 动机的周期相关？
• RQ4 动机多重 polylogarithm Hopf 代数在连接动机伽罗瓦群与模形式中起什么作用？
• RQ5 周期映射 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 是否如猜想所示为同构？

主要发现

• 动机迭代积分 Hopf 代数中的余乘积 $\Delta$ 被显式计算，并证明其编码了非交换概形自同态群的群运算。
• 动机迭代积分 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$ 在 $p_\sigma$ 下映射为 $\mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 中的正则化周期 $\overline{\mathrm{I}}(\sigma(a_0); \sigma(a_1), \dots, \sigma(a_{n+1}))$。
• Hopf 代数 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 同构于张量代数 $T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$，其中 $K_{2n-1}(F)$ 位于度数 $n$。
• 权重 $\leq n$ 的周期空间 $\mathcal{P}^\sigma_n(\mathcal{O}_{F,S})$ 的维数受 $\dim_\mathbb{Q} \mathcal{A}_n(\mathcal{O}_{F,S})$ 的上界限制。
• 满射周期映射 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(\mathcal{O}_{F,S}) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(\mathcal{O}_{F,S})$ 猜想为同构，意味着该上界是紧的。
• 该框架为动机多重 polylogarithm Hopf 代数中的余乘积提供了显式公式，将其与 $\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$ 的动机基本群结构联系起来。