[论文解读] Combinatorics of patience sorting piles

Alexander Burstein, Isaiah Lankham|ArXiv.org|Jun 17, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 13

一句话总结

本文通过引入排列与集合划分对之间的一一对应关系，发展了耐心排序（Patience Sorting）的组合学，该对应关系类似于 RSK 对应。它将避免广义模式 3-1-42 的排列刻画为恰好其堆叠配置对应于集合划分的排列，证明其数量为第 n 个贝尔数（Bell number），并为该算法建立了类似 Knuth 的等价关系。

ABSTRACT

Despite having been introduced in 1962 by C.L. Mallows, the combinatorial algorithm Patience Sorting is only now beginning to receive significant attention due to such recent deep results as the Baik-Deift-Johansson Theorem that connect it to fields including Probabilistic Combinatorics and Random Matrix Theory. The aim of this work is to develop some of the more basic combinatorics of the Patience Sorting Algorithm. In particular, we exploit the similarities between Patience Sorting and the Schensted Insertion Algorithm in order to do things that include defining an analog of the Knuth relations and extending Patience Sorting to a bijection between permutations and certain pairs of set partitions. As an application of these constructions we characterize and enumerate the set S_n(3-\bar{1}-42) of permutations that avoid the generalized permutation pattern 2-31 unless it is part of the generalized pattern 3-1-42.

研究动机与目标

• 发展耐心排序算法的基础组合学，该算法因与随机矩阵理论和概率组合学的联系而近来受到关注。
• 为耐心排序定义一个类似 Knuth 的等价关系，类似于 RSK 对应中的经典 Knuth 关系。
• 将耐心排序扩展为排列与集合划分对之间的一一对应，类似于 RSK 对应。
• 刻画并枚举避免广义模式 3-1-42 的排列集合，特别是那些避免 2-31 的排列（除非作为 3-1-42 模式的组成部分）。
• 证明此类排列的数量为第 n 个贝尔数，从而将耐心排序与经典组合对象联系起来。

提出的方法

• 基于耐心排序过程中相同的堆叠配置，定义排列上的等价关系 ≡PS，类似于 RSK 中的 Knuth 关系。
• 将堆叠配置刻画为集合划分，利用从左到右的最小值和基本子序列来定义每个堆叠的结构。
• 从每个堆叠配置构造一个反向耐心词（RPW）映射到一个排列，证明每个集合划分均可作为堆叠配置出现。
• 使用阴影图，并分析连续从右到左最小值之间的递减段结构，以研究 2-31 模式（非 3-1-42 的一部分）的避免。
• 在 Sn(3-1-42) 中的排列与 [n] 的集合划分之间建立一一对应，证明该集合的大小为贝尔数 Bn。
• 证明避免类 Sn(3-1-42) 与 Sn(23-1) 完全相同，表明广义模式 3-1-42 与广义模式 23-1 在 Wilf 等价性和结构等价性上一致，尽管其模式定义不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将耐心排序扩展为排列与集合划分对之间的一一对应，类似于 RSK 对应？
• RQ2 避免广义模式 3-1-42 的排列的组合结构是什么，特别是其与 2-31 模式的关系如何？
• RQ3 能否为耐心排序定义一个类似 Knuth 的等价关系，它与排列的堆叠配置有何关系？
• RQ4 为何避免 3-1-42 恰好产生贝尔数？这对其此类排列的结构有何含义？
• RQ5 避免类 Sn(3-1-42) 是否对取子排列封闭？与经典模式避免类相比有何不同？

主要发现

• 避免广义模式 3-1-42 的排列集合与 [n] 的集合划分集合之间存在一一对应，因此其大小等于第 n 个贝尔数 Bn。
• 每个集合划分均可作为耐心排序下的堆叠配置出现，且每个堆叠配置唯一对应于 Sn(3-1-42) 中的一个排列。
• Sn(3-1-42) 中排列的反向耐心词（RPW）是一个其堆叠配置与集合划分相匹配的排列，建立了直接对应关系。
• 避免类 Sn(3-1-42) 与 Sn(23-1) 完全相同，表明广义模式 3-1-42 与广义模式 23-1 是 Wilf 等价的，且具有相同的避免类。
• 由堆叠配置诱导的排列上的等价关系 ≡PS 无法用经典模式轻易描述，凸显了广义模式在捕捉耐心排序结构方面的优势。
• 本文表明，类 Sn(3-1-42) 对取子排列不封闭，这使其区别于经典模式避免类，也解释了为何其无法仅通过经典模式描述。