[论文解读] Combining Gaussian processes and polynomial chaos expansions for stochastic nonlinear model predictive control

Eric Bradford, Lars Imsland|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 65被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的随机非线性模型预测控制（SNMPC）框架，结合高斯过程（GPs）与多项式混沌展开（PCE），以精确传播非线性动力学中的随机不确定性。通过利用GPs在非线性建模方面的优势与PCE在谱不确定性量化方面的互补性，该方法能够高效计算机会约束和概率目标的均值与方差，显著提升约束满足率并降低保守性，相较于无迹变换或多阶段规划等现有方法具有明显优势。

ABSTRACT

Model predictive control is an advanced control approach for multivariable systems with constraints, which is reliant on an accurate dynamic model. Most real dynamic models are however affected by uncertainties, which can lead to closed-loop performance deterioration and constraint violations. In this paper we introduce a new algorithm to explicitly consider time-invariant stochastic uncertainties in optimal control problems. The difficulty of propagating stochastic variables through nonlinear functions is dealt with by combining Gaussian processes with polynomial chaos expansions. The main novelty in this paper is to use this combination in an efficient fashion to obtain mean and variance estimates of nonlinear transformations. Using this algorithm, it is shown how to formulate both chance-constraints and a probabilistic objective for the optimal control problem. On a batch reactor case study we firstly verify the ability of the new approach to accurately approximate the probability distributions required. Secondly, a tractable stochastic nonlinear model predictive control approach is formulated with an economic objective to demonstrate the closed-loop performance of the method via Monte Carlo simulations.

研究动机与目标

• 解决在模型预测控制中将随机参数不确定性通过非线性动态模型进行传播的挑战。
• 通过实现精确的概率约束和目标，减少随机非线性MPC中的保守性。
• 通过改进均值与方差估计的准确性，克服现有方法（如无迹变换和多阶段规划）的局限性。
• 开发一种计算上可行的SNMPC框架，确保在不确定性下保持闭环性能。
• 通过蒙特卡洛模拟与对比基准测试，在间歇反应器案例研究中验证该方法。

提出的方法

• 该方法结合高斯过程（GPs）与多项式混沌展开（PCE），以建模随机输入的非线性变换。
• 使用GPs学习从不确定输入到输出的非线性映射，提供灵活的函数逼近。
• 将PCE应用于GP学习得到的函数，以解析方式计算输出分布的均值与方差。
• 结合GPPCE方法可实现系统动力学中不确定性传播的高效且精确计算。
• 由此得到的均值与方差估计用于在最优控制问题中构建机会约束与概率目标。
• 通过预先计算GPPCE框架中计算成本较高的项，减轻在线优化负担，提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 GPs与PCE的结合是否能在非线性随机系统中提供比传统方法（如无迹变换）更精确的均值与方差估计？
• RQ2 所提出的基于GPPCE的SNMPC与标称NMPC、多阶段NMPC及无迹NMPC相比，在约束满足率与计算成本方面表现如何？
• RQ3 精确的不确定性量化在多大程度上可减少保守性并提升随机非线性MPC的闭环性能？
• RQ4 GPPCE框架能否在保持实时应用可计算性的前提下，被高效集成到SNMPC公式中？
• RQ5 与替代方法相比，SNMPC算法对方差估计不准确的敏感程度如何？

主要发现

• 基于GPPCE的SNMPC在400次蒙特卡洛模拟中实现了完美的约束满足，无任何违反，尽管允许5%的机会约束容差。
• SNMPC算法每次最优控制问题（OCP）的平均计算时间为2.868秒，虽为标称NMPC的63倍，但可靠性显著更高。
• 基于无迹变换的NMPC每次OCP平均耗时5.449秒，且批次时间接近SNMPC的四倍，原因在于方差被过度估计。
• 多阶段NMPC在温度约束上出现显著违反，表明其对中间不确定性实现的处理能力远逊于基于GPPCE的方法。
• GPPCE方法提供的均值与方差估计比无迹变换更精确，后者系统性地高估方差，导致过度保守。
• 预先计算GPPCE项可显著降低在线计算负担，实现精度与实时可行性的实用平衡。