[论文解读] Stochastic Nonlinear Model Predictive Control with Efficient Sample Approximation of Chance Constraints

Stefan Streif, Matthias Karl+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 67被引用 13

一句话总结

该论文提出了一种随机非线性模型预测控制（NMPC）框架，通过广义多项式混沌（gPC）进行不确定性传播，并采用基于样本的近似方法，高效处理时间不变不确定性下的机会约束。该方法引入统计方法，预先确定最小约束收紧量，并采用基于样本的梯度近似，从而实现计算高效、实时的NMPC，同时保证可行性，并相比鲁棒或确定性方法显著降低保守性。

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model predictive control approach for nonlinear systems subject to time-invariant probabilistic uncertainties in model parameters and initial conditions. The stochastic optimal control problem entails a cost function in terms of expected values and higher moments of the states, and chance constraints that ensure probabilistic constraint satisfaction. The generalized polynomial chaos framework is used to propagate the time-invariant stochastic uncertainties through the nonlinear system dynamics, and to efficiently sample from the probability densities of the states to approximate the satisfaction probability of the chance constraints. To increase computational efficiency by avoiding excessive sampling, a statistical analysis is proposed to systematically determine a-priori the least conservative constraint tightening required at a given sample size to guarantee a desired feasibility probability of the sample-approximated chance constraint optimization problem. In addition, a method is presented for sample-based approximation of the analytic gradients of the chance constraints, which increases the optimization efficiency significantly. The proposed stochastic nonlinear model predictive control approach is applicable to a broad class of nonlinear systems with the sufficient condition that each term is analytic with respect to the states, and separable with respect to the inputs, states and parameters. The closed-loop performance of the proposed approach is evaluated using the Williams-Otto reactor with seven states, and ten uncertain parameters and initial conditions. The results demonstrate the efficiency of the approach for real-time stochastic model predictive control and its capability to systematically account for probabilistic uncertainties in contrast to a nonlinear model predictive control approaches.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的随机NMPC方法，用于具有时间不变概率不确定性（参数和初始条件）的非线性系统。
• 通过高效采样和约束满足概率的近似，解决非线性系统中机会约束的计算不可行性问题。
• 通过引入概率不确定性分布而非最坏情况边界，减少鲁棒MPC固有的保守性。
• 通过基于样本的近似方法，提高非线性机会约束分析梯度的在线优化效率。
• 提供关于所需样本量的先验统计边界，以保证样本近似优化问题的可行性。

提出的方法

• 使用广义多项式混沌（gPC）将时间不变的随机不确定性传播至非线性动力学中，从而实现从状态概率密度中高效采样。
• 采用基于场景的方法，通过采样不确定性实现并评估约束满足概率，以近似机会约束。
• 引入统计分析，以确定在给定样本量下为确保样本近似问题达到期望可行性概率所需的最小约束收紧量。
• 采用分段积分方法，结合由约束函数根导出的自适应积分边界，以提高概率估计的准确性。
• 通过对方差积分关于控制变量求导，推导出机会约束分析梯度的基于样本的近似，避免使用有限差分近似。
• 利用隐函数定理计算积分边界关于控制变量的偏导数，从而在积分边界依赖于优化变量时仍能实现梯度计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性随机MPC中，如何在不依赖高维概率积分精确解析解的情况下，高效近似机会约束？
• RQ2 为保证样本近似优化问题达到期望可行性概率，所需的最小样本量是多少？该样本量如何实现先验确定？
• RQ3 如何在分析形式不可用的情况下，准确且高效地近似非线性机会约束的梯度，以支持实时优化？
• RQ4 与确定性鲁棒MPC相比，所提方法在保持计算可及性的同时，能在多大程度上减少保守性？
• RQ5 该方法是否可应用于具有解析动力学及可分输入、状态和参数的一般非线性系统？

主要发现

• 所提方法通过高效采样和统计约束收紧，显著降低计算负担，实现实时随机NMPC。
• 先验确定的约束收紧确保了样本近似问题在最小保守性下达到期望的可行性概率。
• 基于样本的梯度近似相比有限差分方法在优化效率和精度方面均有提升，尤其在样本量有限时表现更优。
• 只要系统动力学是解析且可分的，该方法适用于广泛的非线性系统类别。
• 在包含七个状态和十个不确定参数的Williams-Otto反应器案例研究中，该方法在不确定性下成功维持了约束满足，同时在鲁棒性和性能方面优于确定性NMPC。
• gPC与基于场景的优化相结合，可准确地将不确定性分布传播至非线性动力学中，即使最终状态分布非高斯也适用。