[论文解读] Combining the Runge approximation and the Whitney embedding theorem in hybrid imaging

Giovanni S. Alberti, Yves Capdeboscq|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 74被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于维度 $ d \geq 2 $ 的二阶椭圆PDE，使得解的雅可比行列式在任意紧致子集上具有最大秩（即非零）的 $ 2d $ 个边界条件的集合，在 $ H^{1/2} $ 拓扑下既是开集也是稠密集。该方法结合了Runge逼近性质与Whitney投影论证，以构造性方式构建此类解，从而实现对混合成像模态（如光声与热声计算机断层成像）至关重要的鲁棒非零约束。

ABSTRACT

This paper addresses enforcing non-vanishing constraints for solutions to a second order elliptic partial differential equation by appropriate choices of boundary conditions. We show that, in dimension $d\\geq2$, under suitable regularity assumptions, the family of $2d$ solutions such that their Jacobian has maximal rank in the domain is both open and dense. The case of less regular coefficients is also addressed, together with other constraints, which are relevant for applications to recent hybrid imaging modalities. Our approach is based on the combination of the Runge approximation property and the Whitney projection argument [Greene and Wu, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 25(1, vii):215-235, 1975]. The method is very general, and can be used in other settings.

研究动机与目标

• 解决在混合成像中对二阶椭圆PDE解施加非零雅可比行列式约束的挑战。
• 证明通过与未知系数无关的边界条件，可实现具有最大秩雅可比行列式的解。
• 建立此类边界条件在 $ 2d $ 解的 $ H^{1/2} $ 拓扑下构成开集与稠密集。
• 将该方法扩展至更一般的逐点秩条件，以适用于耦合物理场反问题。
• 提供一种构造性、通用的框架，适用于一类具有最小正则性假设的椭圆算子。

提出的方法

• 结合在唯一延拓性成立条件下的Runge逼近性质，用于构造具有所需局部行为的解。
• 应用Whitney投影论证，以减少所需边界条件的数量，同时在紧致集上保持秩条件。
• 利用 $ C^{0,α} $ 映射的 $ k $ 元组在 $ C^{0,α} $ 中具有满秩的集合是开集且稠密集的事实，借助横截性与Sard型论证。
• 通过小系数的解的线性组合实施扰动策略，以确保在紧致集上几乎处处保持满秩。
• 将问题约化为梯度映射 $ \zeta(u_i) $ 上的有限维秩条件，通过参数空间上的测度论论证进行分析。
• 将结果应用于 $ 2d $ 个边界条件的情形，证明相应的解族在 $ H^{1/2}(∂\Omega)^{2d} $ 中是开集且稠密集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界条件在系数未知的情况下，对二阶椭圆PDE的解施加非零雅可比行列式约束？
• RQ2 在 $ H^{1/2} $ 拓扑下，产生最大秩雅可比行列式解的边界条件集合是否为开集且稠密集？
• RQ3 能否利用几何与逼近技术，对所需边界条件的数量进行有界并最小化？
• RQ4 Runge逼近与Whitney投影的结合是否能产生一种实现此类约束的构造性方法？
• RQ5 该框架能否扩展至雅可比条件之外的更一般的逐点秩约束？

主要发现

• 对于 $ d \geq 2 $，在 $ H^{1/2}(∂\Omega)^{2d} $ 中，使得解在任意紧致子集 $ K \subset \Omega $ 上具有最大秩雅可比行列式的 $ 2d $-元组边界条件集合是开集且稠密集。
• 该方法确保对于满足适度正则性条件的任意均匀椭圆算子 $ L $（包括 $ \ell = 0 $ 的情形，即 $ L^\infty $ 系数）均存在此类解。
• 所需边界条件的数量被限制在 $ 2d $ 以内，且在边界数据的小扰动下构造保持鲁棒。
• 该方法适用于一般形式的约束 $ \operatorname{rank}(\nabla u_1, \dots, \nabla u_N) = d $，而不仅限于雅可比条件。
• 即使系数仅为 $ L^\infty $ 级别，该结果依然成立，从而将适用范围扩展至具有有限正则性的实际混合成像问题。
• 证明依赖于通过Whitney投影的横截性论证，表明在有限维扰动中几乎所有系数选择下，秩条件在 $ K $ 上几乎处处成立。