[论文解读] The Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift.

Mihajlo Cekić, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文首次建立了带漂移的分数阶Calderón问题的唯一性与稳定性结果，证明了仅通过外部测量即可唯一且稳定地重构漂移项与势能项。与局部情形（s=1）不同，非局部问题不具有规范不变性，从而实现了系数的完全恢复；同时，利用奇点理论与Runge逼近，构建了一种基于有限次测量的重构算法。

ABSTRACT

We investigate the Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift, proving that the unknown drift and potential in a bounded domain can be determined simultaneously and uniquely by an infinite number of exterior measurements. In particular, in contrast to its local analogue, this nonlocal problem does \emph{not} enjoy a gauge invariance. The uniqueness result is complemented by an associated logarithmic stability estimate under suitable apriori assumptions. Also uniqueness under finitely many \emph{generic} measurements is discussed. Here the genericity is obtained through \emph{singularity theory} which might also be interesting in the context of hybrid inverse problems. Combined with the results from \cite{GRSU18}, this yields a finite measurements constructive reconstruction algorithm for the fractional Calder\'on problem with drift. The inverse problem is formulated as a partial data type nonlocal problem and it is considered in any dimension $n\geq 1$.

研究动机与目标

• 解决从边界测量中恢复带漂移的分数阶薛定谔方程中漂移与势能系数的反问题。
• 建立非局部Calderón问题的唯一性与稳定性，克服局部情形（s=1）中存在的规范不变性障碍。
• 为带漂移的分数阶Calderón问题开发一种适用于任意维度 n ≥ 1 的有限次测量重构算法。
• 利用奇点理论（特别是Whitney关于行列式簇的结果）证明在有限次测量下的一般唯一性。
• 将部分数据反问题的框架拓展至非局部设置，借助Runge逼近与定量唯一延拓技术。

提出的方法

• 在有界Lipschitz域中，将反问题表述为带漂移的分数阶薛定谔方程的部分数据问题。
• 利用分数阶Sobolev空间与迹定理，建立外部值问题的适定性。
• 证明带漂移的分数阶薛定谔方程解的Runge型逼近性质。
• 利用定量唯一延拓估计，在系数的先验正则性假设下推导出对数稳定性界。
• 应用奇点理论（Whitney关于雅可比矩阵余秩的结果），证明一般有限组测量可唯一确定系数。
• 通过结合高阶逼近技术与来自奇点理论的非零行列式之一般性，构建有限次测量的重构算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过外部测量唯一恢复带漂移的分数阶薛定谔方程中的漂移与势能系数？
• RQ2 非局部情形下缺乏规范不变性是否允许完全恢复系数，与局部情形形成对比？
• RQ3 有限个通用外部测量能否唯一确定漂移与势能系数？
• RQ4 在先验正则性假设下，该反问题可建立何种稳定性估计？
• RQ5 如何应用奇点理论证明非局部反问题中有限次测量的一般唯一性？

主要发现

• 与局部情形（因规范不变性而无法完全恢复）不同，带漂移的分数阶Calderón问题实现了漂移与势能系数的唯一恢复。
• 本文在系数满足适当先验有界性条件下，证明了该反问题的对数稳定性估计。
• 构建了一种基于高阶逼近与来自奇点理论的非零行列式一般性的有限次测量重构算法。
• 通过Whitney余秩理论建立了有限次测量下的一般唯一性，表明“坏”测量配置集合的余维数至少为 n+1。
• 将Runge逼近性质推广至带漂移的分数阶薛定谔方程，实现了能量空间中解的稠密逼近。
• 结果适用于任意维度 n ≥ 1，且该框架适用于仅含外部测量的部分数据问题。