[论文解读] Comical sets: a cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文提出了一种使用带连接的标记立方集的 $(\infty,n)$-范畴的新模型，类似于 Verity 的单纯复形集。它建立了具有结合性与双闭性 Gray 张量积的张量积的单性模型结构，并证明了到预单纯复形集的三角剖分函子是一个强单性左 Quillen 函子。

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

研究动机与目标

• 开发一种基于立方体的新 $(\infty,n)$-范畴模型，可扩展至 $n=\infty$ 情况。
• 在带连接的标记立方集上定义一个模型结构，以捕捉 $(\infty,n)$-范畴的同伦性质。
• 通过 lax 和 pseudo Gray 张量积为该模型配备单性结构，确保其结合性与双闭性。
• 确立到预单纯复形集的三角剖分函子保持单性结构，并且是一个左 Quillen 函子。

提出的方法

• 使用带连接的标记立方集来建模 $(\infty,n)$-范畴，扩展了单纯复形集的框架。
• 在带连接的标记立方集范畴上引入两种 Gray 张量积——lax 和 pseudo。
• 证明了这两种 Gray 张量积均具有结合性与双闭性，确保单性结构的良好行为。
• 定义了一个从带连接的标记立方集到预单纯复形集的三角剖分函子。
• 证明了该三角剖分函子在带连接的标记立方集上的模型结构下是一个左 Quillen 函子。
• 确立了该三角剖分函子对于 lax 和 pseudo Gray 张量积均为强单性函子，从而保持单性结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用带连接的标记立方集构建一个 $(\infty,n)$-范畴的立方模型，使其支持行为良好的单性结构？
• RQ2 该模型结构上的 lax 和 pseudo Gray 张量积是否满足结合性与双闭性？
• RQ3 从带连接的标记立方集到预单纯复形集的三角剖分函子是否为左 Quillen 函子？
• RQ4 该三角剖分函子是否对 lax 和 pseudo Gray 张量积均为强单性函子？
• RQ5 该立方模型与 Verity 的单纯复形集等现有模型有何关系？

主要发现

• 带连接的标记立方集上的模型结构对于 lax 和 pseudo Gray 张量积均为单性结构。
• 两种 Gray 张量积均具有结合性与双闭性，确保与高阶范畴运算的兼容性。
• 到预单纯复形集的三角剖分函子是一个左 Quillen 函子，将新模型与既有的单纯复形框架联系起来。
• 该三角剖分函子对 lax 和 pseudo Gray 张量积均为强单性函子，保持了单性结构。
• 该模型为单纯复形集提供了一种支持 $(\infty,n)$-范畴的协调单性结构的立方替代方案。
• 该构造可自然地推广至 $n=\infty$ 情况，为高阶范畴提供统一的框架。