[论文解读] Commensurability of groups quasi-isometric to RAAG's

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文建立了右角Artin群（RAAG）的拟等距群与之共轭的条件，证明若RAAG的外自同构群有限、其定义图中无诱导4-圈且图具有星形刚性，则任何拟等距于它的有限生成群均与之共轭。该结果是精确的，因为若存在诱导4-圈，则可构造出拟等距但不共轭的群。

ABSTRACT

Let $G$ be a right-angled Artin group with defining graph $Γ$ and let $H$ be a finitely generated group quasi-isometric to $G(Γ)$. We show if $G$ satisfies (1) its outer automorphism group is finite; (2) $Γ$ does not have induced 4-cycle; (3) $Γ$ is star-rigid; then $H$ is commensurable to $G$. We show condition (2) is sharp in the sense that if $Γ$ contains an induced 4-cycle, then there exists an $H$ quasi-isometric to $G(Γ)$ but not commensurable to $G(Γ)$. Moreover, one can drop condition (1) if $H$ is a uniform lattice acting on the universal cover of the Salvetti complex of $G(Γ)$. As a consequence, we obtain a conjugation theorem for such uniform lattices. The ingredients of the proof include a blow-up building construction in \cite{cubulation} and a Haglund-Wise style combination theorem for certain class of special cube complexes. However, in most of our cases, relative hyperbolicity is absent, so we need new ingredients for the combination theorem.

研究动机与目标

• 确定右角Artin群（RAAG）的拟等距群与之共轭的条件。
• 识别RAAG定义图的几何与组合条件，以确保共轭刚性。
• 证明无诱导4-圈是精确条件，因为其存在可导致拟等距但不共轭的群。
• 为作用在该类RAAG的Salvetti复形的万有覆盖上的均匀格建立共轭定理。
• 将特殊立方复形的组合定理推广至相对双曲性不成立的非双曲情形。

提出的方法

• 利用前期工作中的展开建筑构造，对拟等距于RAAG的群的几何进行建模。
• 应用Haglund-Wise风格的特殊立方复形组合定理，并将其适配至非相对双曲情形。
• 基于Salvetti复形的万有覆盖建立几何模型，以分析群在CAT(0)立方复形上的作用。
• 在具有平凡Holonomy的分支复形中引入控制机制，以管理群的作用对收缩像的影响。
• 构造具有平凡Holonomy的分支复形的有限覆盖，以实现有限指数子群并分析共轭性。
• 利用特殊立方复形理论研究RAAG中有限指数子群及其嵌入性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定义图Γ满足何种条件时，RAAG在拟等距意义下具有刚性，即每个拟等距于它的有限生成群均与之共轭？
• RQ2 当定义图Γ中包含诱导4-圈时，共轭刚性会发生什么变化？
• RQ3 若群H是Aut(X(Γ))中的均匀格，是否可放宽有限外自同构群条件？
• RQ4 如何将特殊立方复形的组合定理推广至相对双曲性不成立的非双曲情形？
• RQ5 分支复形的Holonomy与作用于其上的群的共轭性之间存在何种关系？

主要发现

• 若RAAG G(Γ)的Out(G(Γ))有限、Γ中无诱导4-圈且Γ具有星形刚性，则任何拟等距于G(Γ)的有限生成群H均与G(Γ)共轭。
• 无诱导4-圈是精确条件：若Γ中存在诱导4-圈，则存在一个群H拟等距于G(Γ)但不与之共轭。
• 若H是作用在G(Γ)的Salvetti复形万有覆盖上的均匀格，则可省略有限外自同构群条件。
• 在给定条件下，为这类均匀格建立了共轭定理，表明其在Aut(X(Γ))中彼此共轭。
• 证明引入了非相对双曲情形下组合定理的新技术，扩展了特殊立方复形理论中的现有结果。
• 构造具有平凡Holonomy的分支复形的有限覆盖，可有效控制收缩像，从而支持共轭性结果。