[论文解读] Commensurators of some non-uniform tree lattices and Moufang twin trees

Peter Abramenko, Bertrand R Emy|ArXiv.org|Feb 18, 2004

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文针对一类广泛的非一致树格（Nagao型）建立了其共轭子群在全自同构群中的稠密性，特别是源自莫方格双树（Moufang twin trees）的情形。通过推广 Sh. Mozes 对 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 的结果，证明了此类格的共轭子群在关联树的自同构群中是稠密的，将广义算术性推广至经典情形之外的非一致格。

ABSTRACT

Sh. Mozes showed that the commensurator of the lattice ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p[t{}^{-1}] \bigr)$ is dense in the full automorphism group of the Bruhat-Tits tree of valency $p+1$, the latter group being much bigger than ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p((t)) \bigr)$. By G.A. Margulis' criterion, this density is a generalized arithmeticity result. We show that the density of the commensurator holds for many tree-lattices among those called of Nagao type by H. Bass and A. Lubotzky. The result covers many lattices obtained via Moufang twin trees.

研究动机与目标

• 将 Sh. Mozes 关于 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 的共轭子群在 Bruhat-Tits 树自同构群中稠密性的结果，推广至更广泛的非一致树格类。
• 证明直接分裂 Nagao 型格的共轭子群在树的自同构群中是稠密的，特别是在双正则情形下。
• 将广义算术性（此前仅知适用于一致格或特定非一致情形）的定义，通过莫方格双树框架推广至一大类非一致树格。
• 展示由莫方格双树构造出的非线性但具有算术性质的树格的存在性，其根群非循环。

提出的方法

• 引入直接分裂 Nagao 型树格类，其定义依赖于一个 Γ-不变的层级函数 ℓ: VT → ℕ，该函数诱导出自同构群 L ⊆ Aut(T)，即保持层级的自同构子群。
• 利用保持层级的自同构的结构性质与共轭子群的行为，证明此类格满足 C(Γ) ∩ L 在 L 中稠密。
• 在双正则树的情形下，若 C(Γ) 不包含于 L，则利用受 Mozes 在 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 工作启发的策略，证明 C(Γ) 在 Aut(T) 中本质上稠密。
• 利用莫方格双树理论与根群数据，构造具有任意有限根群（包括非循环根群）的格，以推广经典例子。
• 应用 Tits 关于从秩-1 根群数据构造莫方格双树的方法，生成新例子，包括非经典、非线性格。
• 分析扭李-卡克斯-莫迪群中 Borel 子群的幂零根，证明某些格在任意域上均为非线性，尽管其共轭子群稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 非一致树格的 Nagao 型格在关联树的全自同构群中，其共轭子群是否稠密？
• RQ2 在双正则树中，若共轭子群在保持层级的子群 L 中稠密，是否可推出其在 Aut(T) 中也稠密？
• RQ3 广义算术性（通过稠密共轭子群定义）是否可超越一致格与经典 Nagao 格，推广至更广泛的非一致格类？
• RQ4 是否存在非线性树格，其共轭子群仍稠密，从而满足广义算术性条件？
• RQ5 莫方格双树构造能否产生具有任意有限根群（包括非循环根群）的非一致格？这对线性性与算术性有何影响？

主要发现

• 任何直接分裂 Nagao 型树格的共轭子群在树的自同构群中均稠密，推广了 Mozes 对 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 的结果。
• 在双正则树中，若 C(Γ) ∩ L 在 L 中稠密，且 C(Γ) 不包含于 L，则 C(Γ) 在 Aut(T) 中本质上稠密。
• 从秩-1 根群数据构造莫方格双树的方法，可生成具有任意有限根群（包括非循环根群，如 F₇× ≅ Z/2×Z/3）的非一致格。
• 由此类构造产生的格（如根群同构于 F₇× 的格）在任意域上均为非线性，但其共轭子群稠密，从而展示了非线性算术格的存在。
• SU₃(F_q[t,t⁻¹]) 的例子表明，函数域上的扭李-卡克斯-莫迪群可产生不满足 (Comm) 条件的非一致格，但其他构造方式可实现密度结果。
• 本文提供了一套系统方法，用于在 Aut(T) 中构造非一致且非线性的广义算术格，将广义算术性的适用范围扩展至经典线性群之外。