[论文解读] Communication complexity of promise problems and their applications to finite automata

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文为一个特定的承诺版本的不相交问题建立了经典确定性与量子通信复杂度之间的指数级差距，表明量子有限自动机在解决某些承诺问题时，所需状态数可比经典有限自动机少指数级。通过通信复杂度技术，作者证明了虽然确定性单向有限自动机需要指数级多的状态，但单向量子有限自动机仅需多项式级别的状态复杂度即可解决相同问题。

ABSTRACT

Equality and disjointness are two of the most studied problems in communication complexity. They have been studied for both classical and also quantum communication and for various models and modes of communication. Buhrman et al. [Buh98] proved that the exact quantum communication complexity for a promise version of the equality problem is ${\bf O}(\log {n})$ while the classical deterministic communication complexity is $n+1$ for two-way communication, which was the first impressively large (exponential) gap between quantum and classical (deterministic and probabilistic) communication complexity. If an error is tolerated, both quantum and probabilistic communication complexities for equality are ${\bf O}(\log {n})$. However, even if an error is tolerated, the gaps between quantum (probabilistic) and deterministic complexity are not larger than quadratic for the disjointness problem. It is therefore interesting to ask whether there are some promise versions of the disjointness problem for which bigger gaps can be shown. We give a positive answer to such a question. Namely, we prove that there exists an exponential gap between quantum (even probabilistic) communication complexity and classical deterministic communication complexity of some specific versions of the disjointness problem. Klauck [Kla00] proved, for any language, that the state complexity of exact quantum/classical finite automata, which is a general model of one-way quantum finite automata, is not less than the state complexity of an equivalent one-way deterministic finite automata (1DFA). In this paper we show, using a communication complexity result, that situation may be different for some promise problems. Namely, we show for certain promise problem that the gap between the state complexity of exact one-way quantum finite automata and 1DFA can be exponential.

研究动机与目标

• 研究承诺版本的不相交问题是否能展现出比以往已知更大的量子与经典模型之间的通信复杂度差距。
• 探讨此类差距对有限自动机状态复杂度的影响，特别是比较经典与量子模型。
• 证明量子有限自动机能够以远少于经典有限自动机的状态数解决某些承诺问题。
• 建立通信复杂度结果与单向量子有限自动机（1QCFA）状态复杂度之间的联系。

提出的方法

• 定义一个承诺问题 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$，其中输入要么是不相交的（$\sum x_i \wedge y_i = 0$），要么具有大交集（$\lambda n \leq \sum x_i \wedge y_i \leq (1-\lambda)n$），其中 $\lambda = \frac{1}{4}$。
• 利用幅度放大和相位估计算法等技术，证明 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ 的量子通信复杂度为 $O(\log n)$。
• 使用欺骗集论证或类似的组合方法，建立 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ 的确定性通信复杂度下限为 $\Omega(n)$。
• 构建一个具有 $2n$ 个量子基态和 $O(n)$ 个经典状态的单向量子有限自动机（MO-1QCFA），以单边误差 $\frac{1}{4}$ 解决承诺问题 $A_D(n)$。
• 利用自动机的行为推导出一个通信协议：Alice 在读取 $x\#$ 后发送其状态，Bob 继续计算并在读取 $x\#y\#$ 后发送其状态，Alice 再次读取 $x$ 后检查接受情况。
• 通过将其与确定性通信复杂度关联，推导出任何解决同一问题的 1DFA 的大小下限，证明 $N \in 2^{\Omega(n)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 承诺版本的不相交问题是否能展现出量子与经典模型之间超过二次方的通信复杂度差距？
• RQ2 是否存在一个承诺问题，其量子通信复杂度为对数级，而经典确定性通信复杂度为线性？
• RQ3 量子有限自动机能否在承诺问题上实现相对于经典有限自动机的指数级状态复杂度优势？
• RQ4 承诺问题的通信复杂度与单向量子有限自动机的状态复杂度之间存在何种关系？
• RQ5 通信复杂度中存在指数级差距是否意味着有限自动机的状态复杂度也存在指数级差距？

主要发现

• 当 $\lambda = \frac{1}{4}$ 时，$\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ 的量子通信复杂度至多为 $3 + 2\log n$，即 $O(\log n)$。
• $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ 的确定性通信复杂度为 $\Omega(n)$，其下限为 $0.0073n - 1$。
• 一个 MO-1QCFA 可以使用 $2n$ 个量子基态和 $O(n)$ 个经典状态，以单边误差 $\frac{1}{4}$ 解决承诺问题 $A_D(n)$。
• 任何解决同一承诺问题 $A_D(n)$ 的 1DFA 必须至少具有 $2^{\Omega(n)}$ 个状态，从而证明了指数级状态复杂度差距。
• 通信复杂度下限表明，任何解决 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$ 的确定性协议都需要 $\Omega(n)$ 位，而量子协议仅需 $O\left(\log n\right)$ 位。
• MO-1QCFA 的构造及其在测量下的接受行为表明，对于“是”实例的接受概率为 1，而对于“否”实例的接受概率至多为 $\frac{1}{4}$，从而确保了单边误差。