[论文解读] Commutants of von Neumann Modules, Representations of B^a(E) and Other Topics Related to Product Systems of Hilbert Modules

Michael Skeide|ArXiv.org|Aug 25, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于交换子的构造方法，从 $\mathscr{B}^a(E)$ 上的 CP-半群构造希尔伯特模的乘积系统，其中 $E$ 是一个强完备的冯诺依曼模，无需依赖单位向量。证明了由 Powers 从两个空间 $E_0$-半群构造的 CP-半群的 Arveson 系统是其各自 Arveson 系统的乘积，而非张量积，并在乘积系统的背景下建立了交换子构造之间的对偶性。

ABSTRACT

We review some of our results from the theory of product systems of Hilbert modules. We explain that the product systems obtained from a CP-semigroup in a paper by Bhat and Skeide and in a paper by Muhly and Solel are commutants of each other. Then we use this new commutant technique to construct product systems from E_0-semigroups on B^a(E) where E is a strongly full von Neumann module. (This improves the construction from a paper by Skeide for Hilbert modules where existence of a unit vector is required.) Finally, we point out that the Arveson system of a CP-semigroup constructed by Powers from two spatial E_0-semigroups is the product of the corresponding spatial Arveson systems as defined (for Hilbert modules) in a paper by Skeide. It need not coincide with the tensor product of Arveson systems.

研究动机与目标

• 开发一种基于交换子的构造方法，从 $\mathscr{B}^a(E)$ 上的 CP-半群构造希尔伯特模的乘积系统，推广先前需要单位向量的构造方法。
• 澄清由 CP-半群及其最小弱扩张所生成的 Arveson 系统之间的关系，特别是在 Powers 构造的背景下。
• 证明由两个空间 $E_0$-半群通过 Powers 构造所得到的 CP-半群的 Arveson 系统是其各自 Arveson 系统的乘积（而非张量积）。
• 在希尔伯特模的背景下，建立从 CP-半群及其交换子构造的乘积系统之间的对偶性，推广早期关于交换子对的结果。

提出的方法

• 通过在 CP-半群 $T_t$ 上使用 GNS 构造，从 $G = G^1 \bigoplus G^2$ 构造双侧冯诺依曼 $\mathscr{B}(G)$-模的乘积系统。
• 将 GNS 模 $\mathscr{E}_t$ 定义为 $\mathcal{B} \xi_t \mathcal{B}$ 的张成空间的闭包，其中 $\xi_t$ 由各 Arveson 系统的循环向量 $\omega^1_t, \omega^2_t$ 构造而成。
• 利用同构关系 $\mathscr{E}_t \cong \mathscr{B}(G \oplus G, (G \oplus G) \otimes H_t)$，其中 $H_t = \mathbb{C}\omega_t \oplus (\mathfrak{H}^1_t \ominus \mathbb{C}\omega^1_t) \oplus (\mathfrak{H}^2_t \ominus \mathbb{C}\omega^2_t)$，实现乘积结构。
• 验证内积 $\langle \xi_t, a \xi_t \rangle = T_t(a)$ 成立，确保 GNS 模实现了 CP-半群。
• 证明所得乘积系统 $\mathfrak{H}^\otimes = (\mathfrak{H}_t)$ 同构于各 Arveson 系统的乘积 $\mathfrak{H}^1 \circledcirc \mathfrak{H}^2$。
• 建立 CP-半群 $T$ 的最小弱扩张对应于 $E_0$-半群 $\vartheta^1$ 和 $\vartheta^2$ 的乘积，且 $T$ 的 Arveson 系统是乘积系统，而非张量积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathscr{B}^a(E)$ 上 CP-半群构造乘积系统的范围推广至不依赖单位向量的希尔伯特模？
• RQ2 由两个 $E_0$-半群构造的 CP-半群的 Arveson 系统与它们各自 Arveson 系统的张量积之间的确切关系是什么？
• RQ3 在冯诺依曼模的背景下，从 CP-半群及其交换子构造的乘积系统之间有何关系？
• RQ4 由 Powers 构造得到的 CP-半群的 Arveson 系统是否等于其构成 $E_0$-半群 Arveson 系统的乘积？
• RQ5 此类 CP-半群的最小弱扩张能否以乘积系统结构明确描述？

主要发现

• 对于强完备的冯诺依曼模 $E$，在 $\mathscr{B}^a(E)$ 上的 CP-半群所构造的乘积系统，无需单位向量即可完成，推广了早期结果。
• 通过 Powers 构造从两个空间 $E_0$-半群得到的 CP-半群的 Arveson 系统，同构于其各自 Arveson 系统的乘积，而非张量积。
• 由 $T_t$ 上 GNS 构造得到的乘积系统 $\mathfrak{H}^\otimes$ 与 $(\mathfrak{H}^1 \circledcirc \mathfrak{H}^2)^\otimes$ 等距同构，确认了乘积结构。
• 将 GNS 模 $\mathscr{E}_t$ 构造为 $\mathscr{B}(G \oplus G, (G \oplus G) \otimes H_t)$，其中 $H_t = \mathbb{C}\omega_t \oplus (\mathfrak{H}^1_t \ominus \mathbb{C}\omega^1_t) \oplus (\mathfrak{H}^2_t \ominus \mathbb{C}\omega^2_t)$，可实现与 CP-半群 $T_t$ 匹配的正确内积结构。
• 从 CP-半群构造的乘积系统的交换子同构于其交换子 CP-半群的乘积系统，建立了两种构造之间的对偶性。
• CP-半群 $T$ 的最小弱扩张被明确描述为 $\vartheta^1$ 和 $\vartheta^2$ 的乘积，其 Arveson 系统为各系统乘积。