[论文解读] Commuting quantum circuits: efficient classical simulations versus hardness results

Xiaotong Ni, Maarten Van den Nest|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文研究了由可交换门组成的量子线路的经典可模拟性，证明了在 qudit 上的 2-局部可交换线路可被经典高效且高精度地模拟，而 3-局部线路则经典上难以模拟。此外，本文还表明，指数化的泡利算符线路以及某些非可交换过程也可通过可交换线路高效模拟，揭示了超越经典计算的丰富计算结构。

ABSTRACT

The study of quantum circuits composed of commuting gates is particularly useful to understand the delicate boundary between quantum and classical computation. Indeed, while being a restricted class, commuting circuits exhibit genuine quantum effects such as entanglement. In this paper we show that the computational power of commuting circuits exhibits a surprisingly rich structure. First we show that every 2-local commuting circuit acting on d-level systems and followed by single-qudit measurements can be efficiently simulated classically with high accuracy. In contrast, we prove that such strong simulations are hard for 3-local circuits. Using sampling methods we further show that all commuting circuits composed of exponentiated Pauli operators e^{iθP} can be simulated efficiently classically when followed by single-qubit measurements. Finally, we show that commuting circuits can efficiently simulate certain non-commutative processes, related in particular to constant-depth quantum circuits. This gives evidence that the power of commuting circuits goes beyond classical computation.

研究动机与目标

• 通过分析可交换量子线路的计算能力，理解经典计算与量子计算之间的边界。
• 确定在何种条件下可交换量子线路可被经典计算机高效模拟。
• 研究可交换线路是否能模拟非可交换量子过程，以揭示潜在的量子优势。
• 阐明局域性（2-局部与 3-局部）在决定可交换线路经典可模拟性及计算困难性中的作用。

提出的方法

• 使用张量网络方法分析矩阵元，并对 qudit 上的 2-局部可交换线路进行高精度经典模拟。
• 应用采样技术与 Hadamard 测试，通过多项式时间经典算法估计常深度线路的矩阵元。
• 采用泡利稳定器形式化方法，证明由指数化泡利算符组成的线路可高效进行弱模拟。
• 利用可交换门可同时对角化的事实，即使对角化酉操作本身高度纠缠，也用于分析线路结构。
• 使用 Chernoff-Hoeffding 不等式，确保在高成功概率下以多项式时间估计期望值。
• 将结果推广至通过有界局域性的可交换线路模拟涉及常深度线路和 Clifford 线路的矩阵元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d-水平系统上作用的 2-局部可交换量子线路能否被经典高效模拟？
• RQ2 在 qubit 上对 3-局部可交换线路进行强经典模拟是否可行，还是其为 #P-难？
• RQ3 由指数化泡利算符组成的线路能否进行弱经典模拟，其条件为何？
• RQ4 可交换量子线路能否模拟非可交换量子过程，例如有界深度线路中的过程？
• RQ5 局域性（2-局部与 3-局部）在决定可交换线路经典可模拟性中起什么作用？

主要发现

• 所有在 d-水平系统上作用的 2-局部可交换线路的均匀族，经单 qudit 测量后，均可被经典强模拟，且精度高，与 d 无关。
• 在 qubit 上对 3-局部可交换线路进行强经典模拟是 #P-难的，这意味着若此类模拟可行，则多项式层次将坍缩，除非 #P 存在多项式时间经典算法。
• 所有由指数化泡利算符 e^{iθP} 组成的可交换线路的均匀族，经单量子比特测量后，均可在弱意义下被经典高效模拟。
• 即使存在少量非可交换性，某些非可交换量子过程——特别是与有界深度线路相关的——也可被纯粹的可交换量子线路高效模拟。
• 对于常深度线路 U，矩阵元 |⟨0|U|0⟩|² 的模拟可在多项式时间内完成，使用 Γ^k-线路，其中 k = 2^m + 1，m 为线路深度。
• 进一步推广表明，形式为 |⟨0|UC|0⟩|² 的矩阵元，其中 C 为 Clifford 线路的均匀族，也可通过 Γ^k-线路（k = 2^m + 1）高效估计。