[论文解读] On the complexity of Commuting Local Hamiltonians, and tight conditions for Topological Order in such systems

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Quantum many-body systems参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文证明了在近乎欧几里得（NE）晶格上，对于量子比特和量子三态系统，3-局部相互作用的可交换局部哈密顿量（CLH）问题属于NP，这意味着基态仅具有局域纠缠。关键贡献在于证明了量子相变的精确临界点：在这些系统中拓扑序不可能实现，但当使用4-局部相互作用或更高维的量子位时，拓扑序成为可能，从而表明基塔耶夫的任意子码（Toric Code）是通过可交换哈密顿量实现拓扑序的最优构造。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, "Nearly Euclidean" (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

研究动机与目标

• 解决可交换局部哈密顿量（CLH）问题在两局部情况之外的计算复杂性，特别是针对3-局部相互作用的情况。
• 确定在可交换哈密顿量系统中，拓扑序出现的精确条件。
• 澄清在平面或近乎欧几里得晶格上仅具有3-局部相互作用的系统中，拓扑序是否可能实现。
• 在可交换哈密顿量系统中，建立局域纠缠与拓扑序之间的精确临界阈值。
• 证明基塔耶夫的任意子码构造在实现拓扑序方面，就相互作用局部性和量子位维数而言是最优的。

提出的方法

• 将布罗维和维亚利2003年关于2-局部可交换哈密顿量属于NP的结果，扩展至基于C*-代数表示理论的量子比特和量子三态系统上的3-局部相互作用。
• 引入“近乎欧几里得”（NE）图的概念，以推广平面晶格嵌入，从而将NP验证扩展至此类图上的3-局部系统。
• 利用李布-罗宾森界和局域性论证，表明即使在平面晶格上，也无法通过任意常数深度量子线路生成拓扑序态。
• 将任意子码哈密顿量作为四局部、三重相互作用系统在环面上的特例进行分析，并将其重新解释为具有边界条件的平面晶格上的CLH(3,4)实例。
• 应用线路下界，证明任何生成拓扑序态的线路必须具有至少Ω(√n)的深度，从而证明其非常数深度要求。
• 证明当k < 3或d < 4（量子位维数）时，可实现常数深度对角化，而当k ≥ 4或d ≥ 4时则不可能，从而确立精确的临界阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子比特和量子三态系统上，近乎欧几里得晶格上的3-局部可交换哈密顿量问题是否属于NP？
• RQ2 在仅具有3-局部相互作用的平面或近乎欧几里得晶格上，可交换哈密顿量系统中能否实现拓扑序？
• RQ3 在可交换哈密顿量系统中，实现拓扑序所需的最小相互作用尺寸和量子位维数是多少？
• RQ4 基塔耶夫的任意子码构造在实现拓扑序方面，就相互作用局部性和量子位维数而言是否最优？
• RQ5 量子线路深度与在可交换哈密顿量系统中生成拓扑序态的能力之间有何关系？

主要发现

• 在近乎欧几里得晶格上，针对量子比特和量子三态系统的3-局部可交换哈密顿量问题属于NP，意味着基态仅具有局域纠缠。
• 在平面或近乎欧几里得晶格上，3-局部可交换哈密顿量系统无法实现拓扑序，因为此类系统无法支持非局域纠缠。
• 当系统具有4-局部相互作用或量子位维数d ≥ 4时，拓扑序是可能的，如任意子码构造所证明。
• 任意子码哈密顿量可被重新解释为具有边界条件的平面晶格上的3-重相互作用CLH(3,4)实例，确认其在CLH框架内的可实现性。
• 任何从产品态生成拓扑序态的量子线路，其深度必须至少为Ω(√n)，证明不存在常数深度线路可对角化此类哈密顿量。
• 从局域纠缠到拓扑序的转变是精确临界的：当k < 3或d < 4时，可实现常数深度对角化，且拓扑序不可能实现；当k ≥ 4或d ≥ 4时则不可能，从而确认了任意子码的最优性。