[论文解读] Compact convex structure of measurements and its applications to simulability, incompatibility, and convex resource theory of continuous-outcome measurements

Yui Kuramochi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 56被引用 7

一句话总结

本文通过后处理等价性和弱拓扑，为一般概率理论（GPT）中的连续结果测量建立了一个紧致的凸结构，从而实现对可模拟性和不相容性的统一分析框架。证明了不可模拟性的鲁棒性度量与相对于可模拟测量的最优态判别概率之比完全对应，将有限维量子结果推广至无限维设置。

ABSTRACT

We introduce the post-processing preorder and equivalence relations for general measurements on a possibly infinite-dimensional general probabilistic theory described by an order unit Banach space $E$ with a Banach predual. We define the measurement space $\mathfrak{M}(E)$ as the set of post-processing equivalence classes of continuous measurements on $E .$ We define the weak topology on $\mathfrak{M} (E)$ as the weakest topology in which the state discrimination probabilities for any finite-label ensembles are continuous and show that $\mathfrak{M}(E)$ equipped with the convex operation corresponding to the probabilistic mixture of measurements can be regarded as a compact convex set regularly embedded in a locally convex Hausdorff space. We also prove that the measurement space $\mathfrak{M}(E) $ is infinite-dimensional except when the system is $1$-dimensional and give a characterization of the post-processing monotone affine functional. We apply these general results to the problems of simulability and incompatibility of measurements. We show that the robustness measures of unsimulability and incompatibility coincide with the optimal ratio of the state discrimination probability of measurement(s) relative to that of simulable or compatible measurements, respectively. The latter result for incompatible measurements generalizes the recent result for finite-dimensional quantum measurements. Throughout the paper, the fact that any weakly$\ast$ continuous measurement can be arbitrarily approximated in the weak topology by a post-processing increasing net of finite-outcome measurements is systematically used to reduce the discussions to finite-outcome cases.

研究动机与目标

• 定义测量空间 $τ(E)$ 为在具有预对偶的序单位Banach空间 $E$ 上的连续测量的后处理等价类的集合。
• 在 $τ(E)$ 上引入弱拓扑，使得有限标签集合的态判别概率连续。
• 证明 $τ(E)$ 在概率混合下构成一个紧致凸集，并嵌入在局部凸Hausdorff空间中。
• 刻画后处理单调的仿射泛函，并证明 $τ(E)$ 除在1维系统外均为无限维。
• 应用该框架，通过基于态判别性能的鲁棒性度量来量化可模拟性和不相容性。

提出的方法

• 定义测量上的后处理预序和等价关系，识别可通过经典后处理相互转换的测量。
• 将测量空间 $τ(E)$ 构造为在后处理等价关系下连续测量的商集。
• 赋予 $τ(E)$ 最弱的拓扑，使得所有有限标签集合的态判别概率连续。
• 利用弱*连续性和有限结果测量的逼近，证明 $τ(E)$ 在概率混合下为紧致凸集。
• 利用任意弱*连续测量可被有限结果测量的后处理递增网逼近的事实，将无限维问题约化为有限维情形。
• 应用对偶理论和双极定理，刻画后处理单调的仿射泛函，并将其与单调泛函的锥联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏有限结果空间，如何在一般概率理论中对连续结果测量空间进行紧致且凸的结构化？
• RQ2 不可模拟性的鲁棒性与相对于可模拟测量的最优态判别概率之比之间的确切关系是什么？
• RQ3 不相容性的鲁棒性如何从有限维量子系统推广至无限维GPT？
• RQ4 能否对测量空间 $τ(E)$ 赋予一种拓扑，使得态判别概率连续，且其是否紧致且凸？
• RQ5 有限结果测量对弱*连续测量的逼近在将连续测量分析约化为有限维情形中起什么作用？

主要发现

• 测量空间 $τ(E)$ 在概率混合下为紧致凸集，正则嵌入在局部凸Hausdorff空间中，且弱拓扑使得态判别概率连续。
• 不可模拟性的鲁棒性度量等于测量的态判别概率与任意可模拟测量的态判别概率之比的最优值。
• 不相容性的鲁棒性度量与不相容测量的态判别概率相对于任意相容测量对的态判别概率之比的最优值完全一致，推广了有限维量子结果。
• 当且仅当系统为1维时，空间 $τ(E)$ 为有限维，反映了高维GPT中连续结果测量的丰富性。
• 后处理单调的仿射泛函在 $τ(E)$ 上完全由单调泛函集合的对偶锥刻画，通过双极定理实现。
• 每个弱*连续测量均可在弱拓扑下被一个后处理递增的有限结果测量网逼近，从而实现将无限维问题约化为有限维问题。