[论文解读] Compact generation of the category of D-modules on the stack of G-bundles on a curve

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 18

一句话总结

本文证明了在特征零的域上，光滑射影曲线上的G-主丛堆的D-模的导范畴尽管该堆非准紧致，仍是紧生成的。证明引入了共截断性（co-truncativeness）的概念，并通过在旗流形的子集上使用${\mathbb{A}}^1$-作用的新型收缩原理，将问题简化为可处理的情形，最终通过对偶性和极限论证证明了紧生成性。

ABSTRACT

The goal of the paper is to show that the (derived) category of D-modules on the stack Bun_G(X) is compactly generated. Here X is a smooth complete curve, and G is a reductive group. The problem is that Bun_G(X) is not quasi-compact, so the above compact generation is not automatic. The proof is based on the following observation: Bun_G(X) can be written as a union of quasi-compact open substacks, which are "co-truncative", i.e., the j_! extension functor is defined on the entire category of D-modules.

研究动机与目标

• 证明$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$的紧生成性，这是几何表示论中的一个基本范畴，尽管$\operatorname{Bun}_G$是非准紧致的。
• 为导代数几何中非准紧致堆的处理建立一个通用框架，特别是通过共截断性和可截断性。
• 通过引入涉及群作用和对偶性的新技巧，将D-模理论扩展到准紧致情形之外。
• 提供一个基础性结果，以支持几何朗兰兹程序及相关领域中的进一步应用。

提出的方法

• 为开子堆$j: U \hookrightarrow \operatorname{Bun}_G$引入共截断性的概念，确保$\operatorname{D-mod}(U)$上存在$j_!$函子。
• 利用$\operatorname{Bun}_G$的哈勒-纳拉萨伊姆-沙茨分层，将堆分解为可通过$P$-可接受集和约化理论分析的层。
• 通过在$\operatorname{Bun}_{P^-}$上使用${\mathbb{A}}^1$-作用的堆式收缩原理，对层进行收缩，将问题简化为可验证紧生成性的更简单情形。
• 运用对偶性和 ind-完备化技术，将$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$与准紧致子堆上的范畴的极限联系起来，利用相干D-模范畴的对偶。
• 利用单值范畴和$\operatorname{D-mod}({\mathbb{A}}^1)_\mu$中的幂等代数，建立主定理证明中的关键同构。
• 依赖于黎曼-希尔伯特对应的一种变体以及无限若尔当代数块（$I^{-\infty,0}$）的结构，以分析单值D-模。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使$\operatorname{Bun}_G$非准紧致，DG范畴$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$是否仍可紧生成？
• RQ2 哪些条件可保证$\operatorname{Bun}_G$的开子堆$U$满足$\operatorname{D-mod}(U)$上$j_!$函子的存在性？
• RQ3 如何利用${\mathbb{A}}^1$-作用对$\operatorname{Bun}_G$的层进行收缩，以证明紧生成性？
• RQ4 是否存在一种对偶理论框架，可从子堆的性质推导出紧生成性？
• RQ5 是否可利用$P$-可接受集和约化理论构造出适合归纳法的$\operatorname{Bun}_G$的滤子？

主要发现

• 范畴$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$是紧生成的，解决了几何表示论中一个长期存在的基础性问题。
• $\operatorname{Bun}_G$允许通过紧生成的准紧致开子堆进行滤子分解，从而可使用列极限技术。
• 通过${\mathbb{A}}^1$-作用在$\operatorname{Bun}_{P^-}$上的收缩原理，使紧生成性问题得以简化为结构更简单、更易分析的情形。
• $\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$的对偶被识别为所有紧生成子堆$U$上$\operatorname{D-mod}(U)$的对偶的极限。
• 单值范畴$\operatorname{D-mod}({\mathbb{A}}^1)_\mu$支持一个单位幂等代数$\underline{0}_\mu$，这对证明论证中的关键同构至关重要。
• 证明依赖于$\underline{1}_\mu \in \operatorname{D-mod}({\mathbb{G}}_m)_\mu$是无限若尔当代数块$I^{-\infty,0}$这一事实，且该结构在黎曼-希尔伯特对应下保持不变。