[论文解读] Compact Group Automorphisms, Addition Formulas and Fuglede-Kadison Determinants

Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 81被引用 5

一句话总结

该论文证明了，对于可数阿勉群 Γ 及在群冯诺依曼代数中可逆的 f，商群环 ℤΓ/ℤΓf 的庞特里亚金对偶上的移位作用的拓扑熵，等于 f 的弗格莱德-凯迪森行列式的对数。证明依赖于鲍文熵定义的 ℓp 版本、群扩张的加法公式，以及通过 f 的压缩近似行列式的公式。

ABSTRACT

For a countable amenable group Γand an element f in the integral group ring ZΓbeing invertible in the group von Neumann algebra of Γ, we show that the entropy of the shift action of Γon the Pontryagin dual of the quotient of ZΓby its left ideal generated by f is the logarithm of the Fuglede-Kadison determinant of f. For the proof, we establish an \ell^p-version of Rufus Bowen's definition of topological entropy, addition formulas for group extensions of countable amenable group actions, and an approximation formula for the Fuglede-Kadison determinant of f in terms of the determinants of perturbations of the compressions of f.

研究动机与目标

• 通过自同构作用于紧致度量群，计算可数阿勉群在代数作用下的拓扑熵。
• 将 ℤ 和 ℤd-作用下已知的熵公式推广至一般可数阿勉群。
• 为群冯诺依曼代数中可逆元素建立熵与弗格莱德-凯迪森行列式之间的通用公式。
• 为在非交换群作用下计算熵提供一个框架，其中此前已知的例子极少。

提出的方法

• 为阿勉群作用引入了鲁菲斯·鲍文拓扑熵定义的 ℓp 版本。
• 为阿勉群作用的群扩张发展了拓扑熵的加法公式。
• 通过 f 的有限压缩的行列式，构建了弗格莱德-凯迪森行列式的近似公式。
• 利用群环 ℤΓ 及其庞特里亚金对偶之间的对偶性，定义了在紧致阿贝尔群上的作用 αf。
• 在群冯诺依曼代数 LΓ 上应用迹态，以定义弗格莱德-凯迪森行列式。
• 建立了作用 αf 下拓扑熵与度量熵之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般可数阿勉群，ℤΓ/ℤΓf 的庞特里亚金对偶上的移位作用的熵是否等于 f 的弗格莱德-凯迪森行列式的对数？
• RQ2 弗格莱德-凯迪森行列式能否通过 f 的有限压缩的行列式来近似？
• RQ3 阿勉群作用的群扩张的熵行为如何？能否推导出加法公式？
• RQ4 当 f 在 ℓ1(Γ) 中不可逆，但仅在群冯诺依曼代数中可逆时，该熵公式是否仍然成立？

主要发现

• 作用 αf 在 Xf 上的拓扑熵等于 f 的弗格莱德-凯迪森行列式的对数。
• 当且仅当 f 在群冯诺依曼代数 LΓ 中可逆时，熵为有限。
• f 的弗格莱德-凯迪森行列式可通过 f 在 Γ 的有限子集上的压缩的对数行列式来近似。
• 群扩张中熵的加法公式使得整个系统的熵可分解为子群上的分量。
• 该结果推广了已知的 ℤ 和 ℤd-作用公式，其中熵等于 f 的马勒测度。
• 该证明适用于所有可数阿勉群，而不仅限于具有对称 ℓ1(Γ) 或剩余有限性的群。