[论文解读] Compact leaves of codimension one holomorphic foliations on projective manifolds

Benoît Claudon, Frank Loray+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 20

一句话总结

本文研究了在射影流形上具有紧致叶的余维一全纯叶状结构，聚焦于Ueda理论（衡量法丛平坦阶数）与单值表示（横截动力系统）之间的相互作用。文章建立了存在具有给定紧致叶且法丛拓扑扭结的全局叶状结构的条件，并证明了具有阿贝尔或可解单值表示的叶状结构的分解定理。

ABSTRACT

This article studies codimension one foliations on projective man-ifolds having a compact leaf (free of singularities). It explores the interplay between Ueda theory (order of flatness of the normal bundle) and the holo-nomy representation (dynamics of the foliation in the transverse direction). We address in particular the following problems: existence of foliation having as a leaf a given hypersurface with topologically torsion normal bundle, global structure of foliations having a compact leaf whose holonomy is abelian (resp. solvable), and factorization results.

研究动机与目标

• 理解在射影流形上的余维一全息叶状结构中，紧致叶所施加的几何与动力学约束。
• 研究具有拓扑扭结（或平坦）法丛的紧致叶的全局叶状结构的存在性。
• 分析具有紧致叶且其单值表示为阿贝尔或可解的叶状结构的全局结构。
• 建立在射影流形上具有阿贝尔或可解单值表示的叶状结构的分解定理。
• 在上同调与拓扑条件下，将局部形式叶状结构构造推广至全局全息叶状结构。

提出的方法

• 利用Ueda理论分析紧致叶法丛的平坦阶数，尤其在法丛为拓扑扭结时的情况。
• 应用叶基本群的单值表示以研究横截动力系统并分类叶状结构类型。
• 采用形式邻域理论与形变理论，在紧致叶的半局部设置中构造形式叶状结构。
• 利用附录A中的横截结构延拓技术，将局部叶状结构提升为紧致凯勒流形上的全局叶状结构。
• 应用复几何结果，包括Bott联络与法丛上的平坦联络，以分析横截仿射或射影结构。
• 利用上同调障碍与线丛条件（例如存在平坦线丛L满足L|Y ≅ NY^k）以确保定义叶状结构的有理1-形式的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有拓扑扭结法丛的光滑超曲面可 admits 具有其为紧致叶的全局全息叶状结构？
• RQ2 紧致叶的Ueda型如何约束单值表示与叶状结构的全局结构？
• RQ3 当射影流形上余维一叶状结构的某紧致叶的单值表示为阿贝尔或可解时，其全局结构如何？
• RQ4 在何种条件下，具有阿贝尔或可解单值表示的叶状结构可透过纤维化或横截仿射结构进行分解？
• RQ5 从紧致叶的形式邻域中将形式叶状结构延拓为全局全息叶状结构时，会产生何种障碍？

主要发现

• 在满足Y² = 0的曲面局部芽中，任意光滑曲线Y的形式邻域内存在形式正则叶状结构，如定理A所述。
• 若紧致凯勒流形X中的光滑超曲面Y满足NY^k为拓扑平凡且utype(Y) ≥ k，则存在取值于L*的有理1-形式，定义一个以Y为叶的全局叶状结构。
• 在射影流形上具有阿贝尔单值表示的紧致叶的叶状结构被证明为横截仿射的，且在温和条件下，其可分解为纤维化或P1-丛。
• 对于可解单值表示，叶状结构被限制为Riccati型或椭圆纤维化，推广了Brunella的早期结果。
• 本文通过线丛L的上同调条件与Ueda型，提供了此类叶状结构存在的完整障碍理论准则。
• 结果推广并一般化了Sad、Brunella与Ueda的早期工作，特别是在有理曲面及在非常一般点处进行的P²的爆破情形下。