[论文解读] Compact quantum subgroups and left invariant C*-subalgebras of locally compact quantum groups

Pekka Salmi|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文建立了共可约局部紧量子群 𝔾 的紧致量子子群与 𝒞₀(𝔾) 的某些左不变 C*-子代数之间的一一对应关系，推广了 Lau 与 Losert 的经典结果。此外，本文证明了任一共可约量子群的紧致量子子群本身也是共可约的，并将该对应关系对偶化，表明在阿贝尔局部紧群中，其开子群与群 C*-代数的不变 C*-子代数之间存在类似联系。

ABSTRACT

We show that there is a one-to-one correspondence between compact quantum subgroups of a co-amenable locally compact quantum group $\mathbb{G}$ and certain left invariant C*-subalgebras of $C_0(\mathbb{G})$. We also prove that every compact quantum subgroup of a co-amenable quantum group is co-amenable. Moreover, there is a one-to-one correspondence between open subgroups of an amenable locally compact group $G$ and non-zero, invariant C*-subalgebras of the group C*-algebra $C^*(G)$.

研究动机与目标

• 将局部紧群的紧致子群与 𝒞₀(G) 的左不变 C*-子代数之间的经典对应关系，推广至局部紧量子群的设定。
• 在共可约量子群 𝔾 的设定下，建立其紧致量子子群与 𝒞₀(𝔾) 的特定左不变 C*-子代数之间的一一对应关系。
• 证明任一共可约量子群的紧致量子子群本身也是共可约的，从而推广了经典群论中‘阿贝尔群关于正规开子群的商群仍为阿贝尔群’的性质。
• 在余交换、共可约的情形下对对应关系进行对偶化，表明阿贝尔局部紧群 G 的开子群与 𝒞*(G) 的非零不变 C*-子代数之间存在一一对应关系。

提出的方法

• 采用 Kustermans 与 Vaes 定义的局部紧量子群的约化 C*-代数框架，包含共乘法 Γ 与左右哈尔权。
• 通过右平移保持元素的条件来定义左不变 C*-子代数，类比于群不变函数的性质。
• 利用乘子代数与严格拓扑理论处理无界乘子，并实现量子群与其对偶之间的对偶性。
• 运用傅里叶–史蒂尔杰斯代数与表示论工具（包括 X-平凡表示）分析不变性与对偶性。
• 在余交换情形下采用庞特里亚金对偶框架，令 𝔾 = Ĝ，并将 G 的子群与 𝒞*(G) 的子代数关联起来。
• 借助 Takesaki–Tatsuuma 对偶性与 Enock 在冯诺依曼代数量子群方面的工作，支持对偶性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在经典 Lau–Losert 对应关系在局部紧群的紧致子群与 𝒞₀(G) 的左不变 C*-子代数之间的量子类比？
• RQ2 能否从环境量子群的共可约性推导出其紧致量子子群的共可约性？
• RQ3 在 C*-代数设定下，量子群与其对偶之间的对偶性如何在开子群与不变子代数之间体现？
• RQ4 在何种条件下，𝒞₀(𝔾) 的左不变 C*-子代数可由紧致量子子群生成？
• RQ5 在余交换、共可约情形下，G 的开子群与 𝒞*(G) 的不变 C*-子代数之间是否存在一一对应关系？

主要发现

• 在共可约局部紧量子群 𝔾 中，其紧致量子子群与 𝒞₀(𝔾) 的特定左不变 C*-子代数之间存在一一对应关系。
• 任一共可约量子群的紧致量子子群本身也是共可约的，推广了经典结论：即阿贝尔群关于正规开子群的商群仍为阿贝尔群。
• 在余交换、共可约情形下，存在对偶对应关系：阿贝尔局部紧群 G 的开子群与 𝒞*(G) 的非零不变 C*-子代数之间存在双射关系。
• 若 H ⊆ G 为开正规子群，则其 C*-代数 𝒞*(H) 是对称的，当且仅当 H 是正规子群，且这等价于其正交补 F⊥ 是 𝒞*(G) 中的双边理想。
• 由 𝒞*(H) 诱导的紧致量子子群同构于商群 G/H 的对偶群，即 (𝔾, π) ≅ ((G/H)̂, ρ)，在余交换情形下确认了对偶性的成立。
• 通过审稿人建议的 X-平凡表示方法，显著缩短了定理 18 中 (1) ⇒ (2) 的证明，同时修复了原论证中一个微妙的技术漏洞。