[论文解读] Compactification of the space of Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds with bounded total extrinsic curvature and volume

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{C}^n$ 中具有统一有界体积和总外曲率（第二基本形式的 $L^n$-范数）的闭、浸入的哈密顿平稳拉格朗日子流形序列的紧致性定理。在这些约束下，子序列在远离有限个奇点的区域以 $C^k$ 拓扑局部一致收敛于一个哈密顿平稳拉格朗日 $n$-变集，该变集要么是一个点，要么是带有孤立奇点的浸入子流形。通过将变集跨小奇点集扩展的结果，证明了该极限在 $\mathbb{C}^n$ 中是哈密顿平稳的。

ABSTRACT

For a sequence of immersed connected closed Hamiltonian stationary Lagrangian submaniolds in $\mathbb{C}^{n}$ with uniform bounds on their volumes and the total extrinsic curvatures, we prove that a subsequence converges either to a point or to a Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold locally uniformly in $C^{k}$ for any nonnegative integer $k$ away from a finite set of points, and the limit is Hamiltonian stationary in ${\mathbb{C}}^{n}$. We also obtain a theorem on extending Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds $L$ across a compact set $N$ of Hausdorff codimension at least 2 that is locally noncollapsing in volumes matching its Hausdorff dimension, provided the mean curvature of $L$ is in $L^{n}$ and a condition on local volume of $L$ near $N$ is satisfied.

研究动机与目标

• 在体积和总外曲率有统一有界性的条件下，建立 $\ mathbb{C}^n$ 中闭、浸入的哈密顿平稳拉格朗日子流形序列的紧致性结果。
• 证明此类序列在远离有限个奇点的区域以 $C^k$ 拓扑局部一致收敛于一个哈密顿平稳拉格朗日 $n$-变集。
• 将哈密顿平稳性的概念推广至可能具有孤立奇点的变集，证明极限在 $\ mathbb{C}^n$ 中是哈密顿平稳的。
• 提供一个可移除奇点定理，用于在体积和曲率控制下，将哈密顿平稳拉格朗日子流形跨具有豪斯多夫余维数至少为 2 的紧致集进行延拓。

提出的方法

• 利用控制拉格朗日相位的四阶椭圆方程导出的曲率估计，通过将其分解为二阶算子来实现。
• 应用阿泽拉-阿斯科利定理，从拉格朗日平面上的图形表示中提取 $C^k$-收敛的子序列。
• 通过迭代的二元分解和锥型估计，构造具有统一图形性和曲率界球的有限覆盖。
• 将第二基本形式的 $L^n$-范数作为控制曲率和体积估计的关键参数。
• 应用可移除奇点定理（定理 4.1），在局部体积控制下，将哈密顿平稳性延拓至余维数 $\geq 2$ 的紧致奇点集。
• 验证极限变集满足哈密顿平稳性条件 $\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$，其中 $f$ 为任意紧支集光滑函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在体积和总外曲率有界的条件下，$\ mathbb{C}^n$ 中闭、浸入的哈密顿平稳拉格朗日子流形序列能否在有意义的几何意义上实现紧致化？
• RQ2 在何种条件下，哈密顿平稳拉格朗日子流形可被延拓至余维数至少为 2 的紧致奇点集？
• RQ3 即使出现奇点，此类序列的极限是否必然在 $\ mathbb{C}^n$ 中是哈密顿平稳的？
• RQ4 此类序列的收敛性是否可在远离有限个点的区域以 $C^k$ 拓扑中得到控制？
• RQ5 第二基本形式的 $L^n$-范数在确保序列的正则性和收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 任何具有统一有界体积和总外曲率的 $\ mathbb{C}^n$ 中闭、浸入的哈密顿平稳拉格朗日子流形序列，其子序列在远离有限个奇点的区域以 $C^k$ 拓扑局部一致收敛。
• 极限是一个哈密顿平稳拉格朗日 $n$-变集，其支撑可能为带有孤立奇点的浸入子流形，或仅为一个点。
• 极限变集在广义意义下是 $\ mathbb{C}^n$ 中的哈密顿平稳的，满足对所有 $f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^{2n})$ 成立的积分条件 $\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$。
• 即使存在奇点，极限变集的支撑闭包仍保持连通。
• 除非整个序列坍缩为一个点（该情况被归一化或体积控制排除），否则极限非空。
• 扩展结果（定理 4.1）表明，若一个拉格朗日子流形在 $\ mathbb{C}^n \setminus N$ 中是哈密顿平稳的，其中 $N$ 为紧致集且豪斯多夫余维数 $\geq 2$，且局部体积受控，则其在 $\ mathbb{C}^n$ 中也是哈密顿平稳的。