[论文解读] Existence of hypersurfaces with prescribed mean curvature I - Generic min-max

Xin Zhou, Jonathan J. Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用 18

一句话总结

该论文通过通用的极小极大构造，证明了在维度 $3 \leq n+1 \leq 7$ 的闭黎曼流形上，存在非平凡、光滑、闭的超曲面，其平均曲率 $h$ 为指定值。对于光滑函数 $h$ 的一个通用开稠密集合（包括Morse函数和解析函数），该方法产生一个光滑、几乎嵌入的、重数为一的超曲面，或一个具有整数重数的极小超曲面，且无需要求 $h$ 具有符号。

ABSTRACT

We prove that, for a generic set of smooth prescription functions $h$ on a closed ambient manifold, there always exists a nontrivial, smooth, closed hypersurface of prescribed mean curvature $h$. The solution is either an embedded minimal hypersurface with integer multiplicity, or a non-minimal almost embedded hypersurface of multiplicity one. More precisely, we show that our previous min-max theory, developed for constant mean curvature hypersurfaces, can be extended to construct min-max prescribed mean curvature hypersurfaces for certain classes of prescription function, including smooth Morse functions and nonzero analytic functions. In particular we do not need to assume that $h$ has a sign.

研究动机与目标

• 解决闭黎曼流形中非恒定指定平均曲率（PMC）闭超曲面的全局存在性问题。
• 将常平均曲率超曲面的极小极大理论推广至更一般的非恒定指定函数 $h$ 情形。
• 证明对于光滑函数 $h$ 的一个通用集合，存在非平凡、光滑、几乎嵌入的PMC超曲面。
• 表明解的正则性——特别是余维数为一的接触集——即使在非恒定 $h$ 情况下，也与常平均曲率情形一致。
• 通过使用稳健的极小极大框架避免平凡临界点（如 $\emptyset$ 或 $M$），克服直接最小化 $\mathcal{A}^h$-泛函时的失败。

提出的方法

• 将常平均曲率超曲面的极小极大理论适配到指定平均曲率情形，将 $\mathcal{A}^h = \text{面积} - \text{Vol}_h$ 视为相关泛函。
• 利用积分流形上的 $\mathbf{F}$-度量和平坦拓扑分析极小化序列的收敛性与正则性。
• 在Caccioppoli集空间 $\mathcal{C}(M)$ 中构造一个同伦类的扫掠，确保在 $\mathbf{F}$-度量下连续。
• 应用插值引理（引理A.1）控制路径上的 $\mathcal{A}^h$-泛函，确保泛函与质量在形变过程中保持一致有界。
• 使用基于流的插值过程，通过向量场 $\tilde{X}_i(x)$ 变形初始构型，确保 $\mathcal{A}^h$-值与原始值保持接近。
• 利用集合 $\mathcal{S}$（即Morse函数中零点集具有有限阶消失平均曲率的函数）在 $C^\infty(M)$ 中为开稠密集的事实，确保结果的通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 极小极大方法能否被推广以构造具有非恒定指定平均曲率 $h$ 的闭超曲面？
• RQ2 对于哪些类别的指定函数 $h$，极小极大构造能产生非平凡、光滑、几乎嵌入的PMC超曲面？
• RQ3 在非恒定 $h$ 情况下，解的正则性（如余维数为一的接触集）是否与常平均曲率情形一致？
• RQ4 即使 $h$ 变号，是否也能保证对一个通用的 $h$ 集合存在此类超曲面？
• RQ5 当直接最小化失败时，$\mathcal{A}^h$-泛函是否可通过极小极大方法获得非平凡临界点？

主要发现

• 对于光滑指定函数 $h$ 的一个通用开稠密集 $\mathcal{S} \subset C^\infty(M)$，存在一个非平凡、光滑、闭的、几乎嵌入的超曲面 $\Sigma^n$，其指定平均曲率为 $h$。
• 所构造的超曲面 $\Sigma$ 要么是具有整数重数的嵌入极小超曲面，要么是重数为一的非极小几乎嵌入超曲面，且其接触集为余维数一。
• 集合 $\mathcal{S}$ 包含所有光滑Morse函数，其零点集为具有有限阶消失平均曲率的光滑超曲面，以及实解析流形上所有非零解析函数。
• 极小极大构造成功避开了 $\emptyset$ 或 $M$ 等平凡临界点，确保了解的非平凡性。
• 正则性结果——特别是余维数一的接触集——与常平均曲率情形一致，尽管 $h$ 非恒定。
• 该证明依赖于一个新插值引理和基于流的形变技术，这些技术在构造过程中保持了 $\mathcal{A}^h$-值与 $\mathbf{F}$-收敛性。