[论文解读] Compactified Jacobians and q,t-Catalan Numbers, I

Eugene Gorsky, Mikhail Mazin|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文建立了平面曲线奇点（仅有一个Puiseux对）的紧化雅可比簇同伦群与Garsia与Haiman的$q,t$-Catalan数之间的组合联系。通过构造$\Gamma^{p,q}$-半模与$(p,q)$-矩形内杨图之间的双射，将胞腔维数表示为$h^+_{p/q}$统计量，从而得到雅可比因子的Poincaré多项式作为$q,t$-Catalan生成函数的公式，该公式在$(n,n+1)$-奇点情形下已验证，并对一般互素$(p,q)$情形提出猜想。

ABSTRACT

J. Piontkowski described the homology of the Jacobi factor of a plane curve singularity with one Puiseux pair. We discuss the combinatorial structure of his answer, in particular, relate it to the bigraded deformation of Catalan numbers introduced by A. Garsia and M. Haiman.

研究动机与目标

• 通过组合工具理解具有一个Puiseux对的平面曲线奇点的雅可比因子的同伦群。
• 将Piontkowski对雅可比因子的胞腔分解与Garsia和Haiman引入的$q,t$-Catalan数联系起来。
• 在右$(p,q)$-三角形内的$\Gamma^{p,q}$-半模与杨图之间构造一个组合双射。
• 证明对于$(n,n+1)$-奇点，雅可比因子的Poincaré多项式等于$t^{2\binom{n}{2}}C_n(t^{-2},1)$。
• 将该公式推广至任意互素$(p,q)$-奇点并将其与$\mathbb{C}^2$中的点的希尔伯特概形联系起来。

提出的方法

• 将$\Gamma^{p,q}$-半模定义为由$p$与$q$生成的半群的$0$-归一化子幺半群。
• 构造从$\Gamma^{p,q}$-半模到$R_+^{p,q}$（即$(p,q)$-矩形中对角线下方区域）内杨图的自然双射$D$。
• 将与半模$\Delta$对应的胞腔$C_\Delta$的维数表示为$\frac{(p-1)(q-1)}{2} - h^+_{p/q}(D(\Delta))$，其中$h^+_{p/q}(D)$统计满足$\frac{a(c)}{l(c)+1} \leq \frac{p}{q} < \frac{a(c)+1}{l(c)}$的方格数。
• 利用Garsia与Haglund给出的$q,t$-Catalan数的组合公式，推导出$(n,n+1)$-奇点情形下的恒等式$\sum_{\Delta} q^{\dim C_\Delta} t^{|\mathbb{Z}_{\geq 0} \setminus \Delta|} = q^{\binom{n}{2}} C_n(q^{-1}, t)$。
• 定义一个从$R_+^{p,q}$的子图到自身的映射$G$，使得对应$\Delta$的$|G(D)| = \dim C_\Delta$，并猜想$G$是双射。
• 通过$T=(\mathbb{C}^*)^2$-作用与不动点的不稳定簇，建立Piontkowski的胞腔分解与$\operatorname{Hilb}^h(\mathbb{C}^2)$的开子簇的胞腔分解之间的双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用组合方法描述具有一个Puiseux对的平面曲线奇点的雅可比因子的同伦群？
• RQ2 Piontkowski分解中的胞腔维数与杨图上的$h^+_{p/q}$统计量之间的确切关系是什么？
• RQ3 雅可比因子的Poincaré多项式能否表示为$q,t$-Catalan数的生成函数？
• RQ4 是否存在一个自然的双射，将$R_+^{p,q}$的子图集与$\Gamma^{p,q}$-半模集对应起来，并保持胞腔维数？
• RQ5 雅可比因子的胞腔分解如何与$\mathbb{C}^2$中点的希尔伯特概形的胞腔分解相关联？

主要发现

• 对于$(n,n+1)$-奇点，雅可比因子的Poincaré多项式为$P_{n,n+1}(t) = t^{2\binom{n}{2}} C_n(t^{-2}, 1)$，与$q,t$-Catalan生成函数一致。
• 与$\Gamma^{n,n+1}$-半模$\Delta$对应的胞腔$C_\Delta$的维数为$\binom{n}{2} - h^+_{n/(n+1)}(D(\Delta))$，其中$D(\Delta)$为对应的杨图。
• 在$R_+^{n,n+1}$的子图上定义的映射$G$满足$|G(D)| = \dim C_\Delta$，且在$(n,n+1)$情形下已被证明为双射，从而为Haglund的双射提供了新的组合实现。
• 雅可比因子的胞腔分解被证明与$\operatorname{Hilb}^h(\mathbb{C}^2)$中开子簇$\mathcal{M}_{p,q,h}$的胞腔分解等价，该等价性通过$T$-作用与不动点的不稳定簇建立。
• 在$\mathcal{M}_{p,q,h}$中，由图$D$标记的胞腔的维数为$h + h^+_{p/q}(D)$，证实了两种胞腔分解的一致性。
• 结果表明，紧化雅可比簇的上同调与扭结的HOMFLY上同调之间存在深刻联系，尤其通过$q,t$-Catalan数的组合结构体现。