[论文解读] Compactly supported cohomology and nearby cycle cohomology of open Shimura varieties of PEL type

Naoki Imai, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 3

一句话总结

该论文证明了，对于具有在 $p$ 处坏约化的积分模型的 PEL 型开希默勒瓦簇，其紧支集 $ackslash\ell$-adic 上同调与邻近周期上同调的 $G(\mathbb{Q}_p)$-尖形式部分一致。关键结果表明，这两类上同调群之间的任何差异在 $p$ 处均为非尖形式，从而使得可以利用邻近周期上同调来研究与超尖形式自守形式相关的伽罗瓦表示。

ABSTRACT

In this paper, we compare two cohomology groups associated to Shimura varieties of PEL type, which are not proper over the base. One is the compactly supported l-adic cohomology, and the other is the nearby cycle cohomology, namely, the compactly supported cohomology of the nearby cycle complex for the canonical integral model of the Shimura variety over Z_p. We prove that the G(Q_p)-cuspidal part of these cohomology groups are the same, where G denotes the reductive algebraic group naturally attached to the PEL datum. Some applications to unitary Shimura varieties are also given.

研究动机与目标

• 比较开 PEL 型希默勒瓦簇的紧支集 $ackslash\ell$-adic 上同调与邻近周期上同调。
• 理解当积分模型在 $p$ 处具有坏约化时，上同调上的伽罗瓦作用。
• 建立上同调的 $G(\mathbb{Q}_p)$-尖形式部分在邻近周期构造下保持不变。
• 将邻近周期上同调作为研究非紧情形局部兰道斯对应关系的工具加以拓展。
• 为酉希默勒瓦簇与扭系数系统提供应用。

提出的方法

• 使用邻近周期函子，将积分模型在 $\mathbb{Z}_p$ 上的通用纤维上同调与特殊纤维上同调联系起来。
• 通过两者之间的自然映射，比较紧支集上同调与邻近周期上同调的 $G(\mathbb{Q}_p)$-同态分量。
• 应用霍克斯希尔德-塞尔谱序列，以自守表示的形式分析特殊纤维的上同调。
• 利用曼托万公式与局部模型理论，将上同调与 $J(\mathbb{Q}_p) = D^\times \times \mathbb{Q}_p^\times$ 的表示联系起来。
• 通过局部模型上同调中尖形式分量在度数 $n-1$ 之外的消失性，分析上同调的超尖形式部分。
• 通过达特与辛的技术，将结果推广至模 $\ell$ 系数情形，特别是利用投影性与非中间度数中超尖形式部分的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 邻近周期上同调是否捕捉到与通用纤维紧支集上同调相同的 $G(\mathbb{Q}_p)$-尖形式表示？
• RQ2 当希默勒瓦簇在 $p$ 处具有坏约化时，上同调上的伽罗瓦作用如何表现？
• RQ3 邻近周期上同调能否用于研究非紧希默勒瓦簇的局部兰道斯对应关系？
• RQ4 特殊纤维在控制上同调中 $G(\mathbb{Q}_p)$-表示类型方面起什么作用？
• RQ5 在扭系数情形下，上同调的超尖形式部分是否在度数 $n-1$ 之外消失？

主要发现

• 紧支集上同调与邻近周期上同调的 $G(\mathbb{Q}_p)$-尖形式部分同构。
• 两者上同调群之间自然映射的核与余核中均不包含 $G(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约超尖形式表示。
• 对于 $G(\mathbb{A}^\infty)$ 的不可约适定表示 $\Pi$，若 $\Pi_p$ 为超尖形式，则两个上同调群的 $\Pi$-同态分量作为 $\operatorname{Gal}(\overline{E}_v/E_v)$-模同构。
• 在扭系数情形下，对任意 $G(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约超尖形式 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-表示 $\pi$，有 $H^i_c(\operatorname{Sh}_{K^p}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)[\pi] = 0$，除非 $i = n-1$。
• 由于 $H^i_c(\mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)$ 在 $i \neq n-1$ 时超尖形式分量消失，因此特殊纤维上同调的超尖形式部分在度数 $n-1$ 之外消失。
• 即使在存在坏约化的情况下，邻近周期上同调仍能捕捉到与超尖形式自守形式相关的正确伽罗瓦表示。