[论文解读] Comparative computational results for some vertex and facet enumeration codes

David Avis, Charles Jordan|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文通过一系列从简单到高度退化的测试问题，对比了凸多面体的并行与串行顶点和面枚举代码。结果表明，尤其是基于MPI的mplrs代码，通过并行化实现了显著的加速——在最困难的问题（cp6）上，相比cddr+，速度最高提升了600倍，使在普通硬件集群上进行大规模枚举成为可能。

ABSTRACT

We report some computational results comparing parallel and sequential codes for vertex/facet enumeration problems for convex polyhedra. The problems chosen span the range from simple to highly degenerate polytopes. We tested one code (lrs) based on pivoting and four codes (cddr+, ppl, normaliz, PORTA) based on the double description method. normaliz employs parallelization as do the codes plrs and mplrs which are based on lrs. We tested these codes using various hardware configurations with up to 1200 cores. Major speedups were obtained by parallelization, particularly by the code mplrs which uses MPI and can operate on clusters of machines.

研究动机与目标

• 评估不同凸多面体上顶点与面枚举代码的性能。
• 评估并行化对解决计算困难的枚举问题的影响。
• 识别不同多面体类型下最有效的算法与硬件配置。
• 为研究人员提供基于多面体退化程度与输出大小选择合适工具的实际指导。

提出的方法

• 本研究评估了六种代码：lrs（枢轴法）、cddr+、ppl、normaliz、porta（双描述法）以及并行变体mplrs与plrs。
• 测试问题包括循环多面体、排列多面体、相关多面体，以及高度退化的实例如cp6与zfw91。
• 计算在单机和最多1200个核心的集群上运行，大规模测试使用Tsubame2超级计算机。
• 通过lrs的基计数与输出大小估计评估退化程度，结果表明问题的可计算性。
• 性能以秒为单位进行测量，并计算不同核心数与问题类型下的加速比。
• mplrs代码基于MPI，实现了跨集群的分布式计算，表现出接近线性的可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同顶点与面枚举算法在不同退化程度的多面体上表现如何？
• RQ2 通过MPI实现的并行化（如mplrs）能实现多大的加速？
• RQ3 对于输出规模大、高度退化的多面体（如cp6与zfw91），哪种算法最有效？
• RQ4 使用16至312个核心的小规模集群是否能显著缩短单核执行的运行时间？
• RQ5 基于lrs的输出大小与运行时间估计在预测问题可计算性方面是否可靠？

主要发现

• 在使用1200个核心时，mplrs在cp6问题上相比cddr+实现了600倍的加速，仅用42分钟完成任务。
• 对于最困难的问题（cp6），总运行时间从单机上的3周缩短至312核集群上的16,280秒（约4.5小时）。
• 在Tsubame2超级计算机上，mplrs表现出接近线性的加速，1200个核心将cp6的运行时间缩短至42分钟。
• 对于极端退化问题（如cp6），lrs基于枢轴法是唯一可行的方法，尽管输出规模小，但计算量极大。
• 对于输出为小整数的问题（如cp6、bv7），双描述法（如normaliz与cddr+）的效率低于基于lrs的方法。
• 使用约10万美元构建的1200核集群，可使大多数研究团队获得超算级别的性能。