[论文解读] Comparing Bayes factors and hierarchical inference for testing general relativity with gravitational waves

M. Isi, Will M. Farr+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2022

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 53被引用 25

一句话总结

本文表明，通过朴素相乘的方式组合多个引力波事件的贝叶斯因子，可能导致误导性结论，原因在于其对非信息性先验选择具有强烈敏感性，尤其是在似然函数无支持的参数空间区域。相比之下，分层推断——通过建模广义相对论偏离的群体分布——提供了一种更稳健、更可靠的方法，其结论不依赖于先验宽度，从而避免了乘法贝叶斯因子的陷阱。

ABSTRACT

In the context of testing general relativity with gravitational waves, constraints obtained with multiple events are typically combined either through a hierarchical formalism or though a combined multiplicative Bayes factor. We show that the well-known dependence of Bayes factors on the analysis priors in regions of the parameter space without likelihood support can lead to strong confidence in favor of incorrect conclusions when one employs the multiplicative Bayes factor. Bayes factors $\mathcal{O}(1)$ are ambivalent as they depend sensitively on the analysis priors, which are rarely set in a principled way; additionally, combined Bayes factors $>\mathcal{O}(10^3)$ can be obtained in favor of the incorrect conclusion depending on the analysis priors when many $\mathcal{O}(1)$ Bayes factors are multiplied, and specifically when the priors are much wider than the underlying population. The hierarchical analysis that instead infers the ensemble distribution of the individual beyond-general-relativity constraints does not suffer from this problem, and generically converges to favor the correct conclusion. Rather than a naive multiplication, a more reliable Bayes factor can be computed from the hierarchical analysis. We present a number of toy models showing that the practice of multiplying Bayes Factors can lead to incorrect conclusions.

研究动机与目标

• 研究通过朴素相乘方式组合多个引力波事件约束的贝叶斯因子的可靠性。
• 识别乘法贝叶斯因子的关键缺陷：在似然函数无支持的参数空间区域，其对非信息性先验具有极端敏感性。
• 证明分层推断（通过学习广义相对论偏离的群体分布）可避免该问题。
• 表明分层建模为广义相对论的多事件检验提供了一种更合理且稳健的替代方法。
• 通过具体的小型模型说明，由于先验选择的影响，乘法贝叶斯因子可能错误地支持错误假设。

提出的方法

• 使用具有已知真实分布的小型模型，模拟多个引力波探测事件。
• 将单个事件的乘法贝叶斯因子（BFs）与一种推断广义相对论偏离参数群体分布的分层模型进行比较。
• 采用高斯矩展开来建模偏离的群体分布，其中均值 μ 和标准差 σpop 作为超参数。
• 采用分层贝叶斯推断，从数据中估计 μ 和 σpop，将群体分布视为可随观测自适应调整的先验。
• 分析随着事件数量增加，乘法贝叶斯因子的标度行为，表明其对固定且宽泛的先验具有依赖性。
• 证明即使先验为非信息性，分层后验仍能收敛到正确结论，而乘法贝叶斯因子则可能产生任意偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当先验为非信息性或宽泛时，对多个引力波事件的贝叶斯因子进行朴素相乘，是否会导致因先验敏感性而得出错误结论？
• RQ2 当先验为非信息性或宽泛时，乘法贝叶斯因子的性能如何随事件数量增加而变化？
• RQ3 分层推断（通过建模广义相对论偏离的群体分布）是否能避免乘法贝叶斯因子中出现的依赖先验的偏差？
• RQ4 当单个事件的约束存在歧义时，分层建模是否仍能可靠地恢复广义相对论之外参数的真实群体分布？
• RQ5 在受控的小型模型场景中，乘法贝叶斯因子与分层模型在推断可靠性方面存在哪些定量差异？

主要发现

• 当先验远宽于真实群体分布时，即使单个贝叶斯因子仅为 O(1) 量级，乘法贝叶斯因子仍可能对错误假设提供强支持（例如，O(10^3) 支持错误的偏离）。
• 量级为 O(1) 的贝叶斯因子本质上具有歧义性，且对先验设定极为敏感，尤其是在似然函数无支持的参数空间区域。
• 分层推断通过从数据中学习群体分布，始终能收敛到正确结论，从而避免了乘法贝叶斯因子的先验诱导偏差。
• 该分层方法提供了一种更可靠、更合理的多事件证据组合方式，因为它不假设事件间偏离相同或独立。
• 在所有测试的小型模型中，当先验为非信息性时，乘法贝叶斯因子均产生误导性结果，而分层推断则正确识别了真实底层模型。
• 研究表明，先验选择对乘法贝叶斯因子具有主导影响，而分层模型由于采用数据自适应的超先验，对先验假设具有鲁棒性。