[论文解读] Comparing EQP and MOD_{p^k}P using Polynomial Degree Lower Bounds

Mart de Graaf, Paul Valiant|ArXiv.org|Nov 27, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文通过分析在 Z_{p^k} 上的函数的多项式次数，建立了量子复杂度类 EQP 与经典计数类 MOD_{p^k}P 之间的相对分离。当 m = p^k 为素数幂时，证明了在函数在权重 n/4 处非零、在权重 3n/4 处为零的条件下，多项式次数的线性下界，从而表明相对于某些预言机，EQP 无法被包含在 MOD_{p^k}P 中。对于最大素因子为 p 的无平方因子合数 m，证明了次数的上界为 O(n^{1/log_p m})，显示出从素数幂到合数时次数的显著下降。

ABSTRACT

We show that an oracle A that contains either 1/4 or 3/4 of all strings of length n can be used to separate EQP from the counting classes MOD_{p^k}P. Our proof makes use of the degree of a representing polynomial over the finite field of size p^k. We show a linear lower bound on the degree of this polynomial. We also show an upper bound of O(n^{1/log_p m}) on the degree over the ring of integers modulo m, whenever m is a squarefree composite with largest prime factor p.

研究动机与目标

• 通过预言机分离研究量子复杂度类 EQP 与经典计数类 MOD_{p^k}P 之间的关系。
• 确定在 Z_m 上表示一个在汉明权重为 n/4 时值为 1、在权重为 3n/4 时值为 0 的布尔函数的最小多项式次数。
• 确定当 m 从素数幂过渡到合数模数时，此类多项式的次数是否显著降低。
• 通过多项式表示的次数界，提供 EQP 与 MOD_{p^k}P 之间的相对分离。

提出的方法

• 使用表示布尔函数 f(x) = 1（当 |x| = n/4 时）和 f(x) = 0（当 |x| = 3n/4 时）的多项式 q: Z_m^n → Z_m 的次数。
• 应用卢卡斯定理和中国剩余定理，分析模素数幂和合数的二项式系数。
• 当 m = p^k 为素数幂时，利用 m^b 和 3m^b 的二进制表示的性质，建立此类多项式次数的线性下界。
• 对于最大素因子为 p 的无平方因子合数 m，通过分析 am + c 与 3am + 3c 的二进制表示中首次不同的数位，构造出次数为 O(n^{1/log_p m}) 的多项式。
• 基于 n/4 ≡ 0 mod m 是否成立进行分类讨论，并在每种情况下应用不同的多项式构造方法。
• 利用多项式次数对应于 EQP 中量子算法的查询复杂度这一事实，实现预言机分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过多项式次数分析，在预言机下实现 EQP 与 MOD_{p^k}P 的分离？
• RQ2 在 Z_{p^k} 上表示在权重 n/4 处为 1、在权重 3n/4 处为 0 的函数的最小多项式次数是多少？
• RQ3 当 m 为无平方因子合数时，与素数幂相比，此类多项式的次数是否显著降低？
• RQ4 对于无平方因子合数 m，O(n^{1/log_p m}) 的次数上界是否紧致？

主要发现

• 证明了当 m = p^k 为素数幂时，任何表示函数 f(x) = 1（当 |x| = n/4 时）和 f(x) = 0（当 |x| = 3n/4 时）的多项式在 Z_{p^k} 上的次数具有 Ω(n) 的线性下界。
• 对于最大素因子为 p 的无平方因子合数 m，建立了此类多项式次数的上界为 O(n^{1/log_p m})。
• 当 m 从素数幂变为无平方因子合数时，多项式次数从 n 的线性量级显著下降至 n 的次多项式量级，显示出表示复杂性的结构性差异。
• 这一次数差距意味着存在相对分离：相对于包含每种长度下 1/4 或 3/4 的所有字符串的预言机，EQP 不被包含在 MOD_{p^k}P 中。
• 该构造表明，当 n/4 ≢ 0 mod m 且 m 为无平方因子时，函数 f(x) = 1（在权重 n/4 处）和 f(x) = 0（在权重 3n/4 处）可在 Z_m 上由常数次多项式表示，具体取决于剩余类。
• 结果表明，布尔函数在 Z_m 上的表示在 m 从素数幂过渡到合数模数时，其次数复杂度表现出明显的跃迁。