[论文解读] Comparing Graphs via Persistence Distortion

Tamal K. Dey, Dayu Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 31被引用 16

一句话总结

本文提出了持久性-畸变距离，这是一种新颖的度量方法，通过将有限度量图视为连续的拓扑空间，用于比较它们。利用持久同调与计算几何，该方法实现了多项式时间计算，同时在度量扰动下保持稳定，并对图的离散化具有鲁棒性，为离散图匹配方法提供了一种连续、稳定且可高效计算的替代方案。

ABSTRACT

Metric graphs are ubiquitous in science and engineering. For example, many data are drawn from hidden spaces that are graph-like, such as the cosmic web. A metric graph offers one of the simplest yet still meaningful ways to represent the non-linear structure hidden behind the data. In this paper, we propose a new distance between two finite metric graphs, called the persistence-distortion distance, which draws upon a topological idea. This topological perspective along with the metric space viewpoint provide a new angle to the graph matching problem. Our persistence-distortion distance has two properties not shared by previous methods: First, it is stable against the perturbations of the input graph metrics. Second, it is a continuous distance measure, in the sense that it is defined on an alignment of the underlying spaces of input graphs, instead of merely their nodes. This makes our persistence-distortion distance robust against, for example, different discretizations of the same underlying graph. Despite considering the input graphs as continuous spaces, that is, taking all points into account, we show that we can compute the persistence-distortion distance in polynomial time. The time complexity for the discrete case where only graph nodes are considered is much faster. We also provide some preliminary experimental results to demonstrate the use of the new distance measure.

研究动机与目标

• 开发一种用于比较度量图的稳定、连续的距离度量，该度量考虑其几何实现中的所有点，而不仅限于节点。
• 确保对度量扰动和同一潜在图的不同离散化具有鲁棒性。
• 为NP难的图匹配方法（如Gromov-Hausdorff距离）提供一种计算上可行的替代方案。
• 通过整合持久图与度量空间对齐，弥合拓扑数据分析与图比较之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过度量图上从基点出发的距离函数所导出的持久图之间的交错距离，定义持久性-畸变距离。
• 采用基点空间的分解，使得持久图在各区域内保持稳定，从而实现高效计算。
• 利用图中测地距离函数的性质，限制临界区域的数量，降低计算复杂度。
• 通过从图的顶点采样基点，使用离散近似，并通过定理3证明了理论误差界（例如，≤12δ）。
• 该算法计算采样基点的持久图之间的瓶颈距离，以近似连续距离。
• 理论分析表明，尽管考虑了图中所有点，连续的持久性-畸变距离仍可在多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为度量图定义一种连续、稳定且可高效计算的距离，使其考虑其几何实现中的所有点？
• RQ2 如何利用持久同调等拓扑不变量定义一种对离散化不敏感的鲁棒图距离？
• RQ3 是否可能实现一种在度量扰动下稳定的图距离的多项式时间计算？
• RQ4 持久性-畸变距离与现有图匹配方法（如图编辑距离或谱匹配）之间存在何种关系？

主要发现

• 持久性-畸变距离在度量扰动下保持稳定，确保图度量的微小变化仅导致距离的微小变化。
• 该方法是连续的，意味着它对整个图的底层空间进行对齐，而非仅对节点对应关系进行对齐，从而增强了对不同离散化的鲁棒性。
• 尽管考虑了图中所有点，连续的持久性-畸变距离仍可在多项式时间内计算。
• 该距离的离散近似估计误差最多为12δ，其中δ为基点的采样密度。
• 实验结果表明，该距离对相似模型（如同一物体的不同姿态）产生较小的值，证明了其在区分相似与不相似图方面的能力。
• 计算该距离的运行时间通常在10秒以内，较大图（如犰狳）最多约20秒，表明其具有实际效率。