[论文解读] Comparing operadic theories of $n$-category

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文建立了一套通用框架，用于比较 $n$-范畴的范畴理论，通过证明任意迭代的、由操作代数参数化的理论（如 Trimble 类型）可系统地转化为一个单一的同伦收缩的球形操作代数，其代数恰好是原始理论中的 $n$-范畴。关键结果是：所得的球形操作代数同伦收缩当且仅当迭代构造中所有参数化操作代数均为同伦收缩，从而将 Trimble 的迭代操作代数方法与 Batanin 的非迭代球形操作代数框架统一起来。

ABSTRACT

We give a framework for comparing on the one hand theories of n-categories that are weakly enriched operadically, and on the other hand n-categories given as algebras for a contractible globular operad. Examples of the former are the definition by Trimble and variants (Cheng-Gurski) and examples of the latter are the definition by Batanin and variants (Leinster). We will show how to take a theory of n-categories of the former kind and produce a globular operad whose algebras are the n-categories we started with. We first provide a generalisation of Trimble's original theory that allows for the use of other parametrising operads in a very general way, via the notion of categories weakly enriched in V where the weakness is parametrised by an operad P in the category V. We define weak n-categories by iterating the weak enrichment construction using a series of parametrising operads P_i. We then show how to construct from such a theory an n-dimensional globular operad for each $n \geq 0$ whose algebras are precisely the n-categories we constructed by iterated weak enrichment, and we show that the resulting globular operad is contractible precisely when the operads P_i are contractible. We then show how the globular operad associated with Trimble's topological definition is related to the globular operad used by Batanin to define fundamental n-groupoids of spaces.

研究动机与目标

• 开发一个用于比较 $n$-范畴操作代数理论的通用框架，特别是将 Trimble 的迭代操作代数方法与 Batanin 的球形操作代数方法进行对比。
• 通过在迭代的每一级允许任意参数化操作代数，推广 Trimble 的原始定义，以实现更广泛的应用，包括光滑或拓扑变体。
• 从一个操作代数序列构造出一个单一的 $n$-维球形操作代数，其代数恰好是通过迭代弱丰富定义的弱 $n$-范畴。
• 证明所得的球形操作代数同伦收缩当且仅当迭代构造中所有参数化操作代数均为同伦收缩。
• 通过表明 $n$-范畴中复合与相干性的完整结构可编码于一个由经典操作代数序列导出的单一同伦收缩球形操作代数中，建立经典操作代数理论与高阶范畴论之间的桥梁。

提出的方法

• 引入 $(\mathcal{V}, P)$-范畴的概念，这是弱丰富的推广，其中弱性由 $\mathcal{V}$-操作代数 $P$ 参数化，从而支持灵活的迭代构造。
• 通过使用一系列操作代数 $P_i$ 进行迭代弱丰富，定义弱 $n$-范畴，其中每个 $P_i$ 参数化一层复合结构。
• 使用递归公式 $Q^{(n)}_{\alpha} = P_{n-1}(k)_{m-1} \times Q^{(n-1)}_{\alpha_1} \times \cdots \times Q^{(n-1)}_{\alpha_k}$，从序列 $P_0, \dots, P_{n-1}$ 构造一个球形操作代数 $Q^{(n)}$，以编码第 $n$ 层的所有粘贴图。
• 通过归纳法在 $n$ 上定义一个连续的、保持边界的操作代数态射 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$，其中 $K^{(n)}$ 是 Batanin 的球形操作代数，利用悬垂和圆盘重参数化。
• 利用 $\theta$ 的归纳构造，证明 $Q^{(n)}$ 在 $\theta$ 下的像是 $K^{(n)}$ 的子操作代数，并通过连续性和与操作代数结构的相容性，证明 $\theta$ 是一个操作代数态射。
• 证明所得的球形操作代数 $Q^{(n)}$ 同伦收缩当且仅当所有在迭代构造中作为参数的操作代数 $P_i$ 均同伦收缩，从而将输入的同伦性质与输出精确关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Trimble 对 $n$-范畴的迭代操作代数定义推广，以允许在迭代的每一级使用任意参数化操作代数？
• RQ2 能否从一系列经典操作代数构造出一个单一的球形操作代数，使其代数恰好是通过迭代弱丰富定义的 $n$-范畴？
• RQ3 在何种条件下，所得的球形操作代数是同伦收缩的？这与迭代构造中参数化操作代数的同伦收缩性有何关系？
• RQ4 操作代数态射 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$ 如何将 Trimble 理论中的重参数化与 Batanin 的球形操作代数中的重参数化联系起来？
• RQ5 Trimble 理论中的重参数化在多大程度上对应于 Batanin 操作代数的一个子操作代数？这对 $n$-范畴的同伦结构有何含义？

主要发现

• 本文从操作代数序列 $P_0, \dots, P_{n-1}$ 构造了一个球形操作代数 $Q^{(n)}$，使得 $Q^{(n)}$ 的代数恰好是通过使用 $P_i$ 进行迭代弱丰富所定义的弱 $n$-范畴。
• 证明了态射 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$ 是一个定义良好、连续且保持边界的操作代数态射，将 Trimble 类型的结构嵌入到 Batanin 的球形操作代数框架中。
• 所得的球形操作代数 $Q^{(n)}$ 同伦收缩当且仅当迭代构造中所有参数化操作代数 $P_i$ 均同伦收缩，从而建立了输入与输出之间精确的同伦对应关系。
• 该构造推广了 Leinster 的引理 10.1.9，将其从 Trimble 的原始定义扩展到一大类操作代数参数化的 $n$-范畴理论。
• 证明了 Trimble 理论中的重参数化是 Batanin 操作代数中重参数化的真子集，因为它们仅来自一维重参数化的重复悬垂，从而排除了某些病态映射。
• 该框架为使用经典操作代数理论——尤其是拓扑与同伦论技术——研究 $n$-范畴打开了大门，特别是在 cobordism 的 $n$-范畴等情境中具有重要意义。