[论文解读] Comparing the stochastic nonlinear wave and heat equations: a case study

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto|Edinburgh Research Explorer (University of Edinburgh)|Aug 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 48被引用 6

一句话总结

本文比较了受空间-时间白噪声的分数阶导数驱动的随机非线性波动方程（SNLW）与随机非线性热方程（SNLH），二者均具有二次非线性项。研究发现，当 α = 1/2 时，SNLW 因二阶随机项的不连续性而变得不适定，而 SNLH 直至 α = 1 仍保持适定，表明在噪声粗糙的条件下，SNLW 不如 SNLH 理想。

ABSTRACT

We study the two-dimensional stochastic nonlinear wave equation (SNLW) and stochastic nonlinear heat equation (SNLH) with a quadratic nonlinearity, forced by a fractional derivative (of order $α> 0$) of a space-time white noise. In particular, we show that the well-posedness theory breaks at $α= \frac 12$ for SNLW and at $α= 1$ for SNLH. This provides a first example showing that SNLW behaves less favorably than SNLH. (i) As for SNLW, Deya (2020) essentially proved its local well-posedness for $0 < α< \frac 12$. We first revisit this argument and establish multilinear smoothing of order $\frac 14$ on the second order stochastic term in the spirit of a recent work by Gubinelli, Koch, and Oh (2018). This allows us to simplify the local well-posedness argument for some range of $α$. On the other hand, when $α\geq \frac 12$, we show that SNLW is ill-posed in the sense that the second order stochastic term is not a continuous function of time with values in spatial distributions. This shows that a standard method such as the Da Prato-Debussche trick or its variant, based on a higher order expansion, breaks down for $α\ge \frac 12$. (ii) As for SNLH, we establish analogous results with a threshold given by $α= 1$. These examples show that in the case of rough noises, the existing well-posedness theory for singular stochastic PDEs breaks down before reaching the critical values ($α= \frac 34$ in the wave case and $α= 2$ in the heat case) predicted by the scaling analysis (due to Deng, Nahmod, and Yue (2019) in the wave case and due to Hairer (2014) in the heat case).

研究动机与目标

• 研究在粗糙噪声驱动下，随机非线性波动方程（SNLW）的解理论是否与随机非线性热方程（SNLH）一致。
• 确定当受空间-时间白噪声的分数阶导数驱动时，SNLW 与 SNLH 适定性的临界正则性阈值 α。
• 分析标准适定性技术（如 Da Prato-Debussche 技巧）在双曲情形下的失效原因。
• 为 SNLW 中的二阶随机项建立多重线性光滑性，以简化 α < 1/2 时的局部适定性论证。
• 证明 SNLW 的适定性阈值早于尺度预测值（α = 3/4），表明其破坏比抛物情形更为严重。

提出的方法

• 利用拟微分算子微积分与随机展开重述 SNLW 与 SNLH，以分离出二阶随机项。
• 借鉴 Gubinelli、Koch 与 Oh（2018）的方法，对 SNLW 中的二阶随机项应用 1/4 阶多重线性光滑估计，以改进局部适定性论证。
• 通过 Besov 空间估计与拟积分解控制方程中的非线性相互作用。
• 运用离散卷积估计与线性随机估计分析随机对象的正则性。
• 通过 Wiener chaos 展开构造相关随机对象，并分析其收敛性质。
• 通过证明当 α ≥ 1/2 时，SNLW 的二阶随机项在取值于空间分布时关于时间不连续，从而证明其不适定性；SNLH 同样在 α ≥ 1 时出现类似问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 α > 0 的粗糙噪声驱动下，SNLW 的解理论是否与 SNLH 一致？
• RQ2 SNLW 何时因 α 超过临界值而变得不适定？
• RQ3 为何标准的 Da Prato-Debussche 技巧在 α ≥ 1/2 时对 SNLW 失效，而对 SNLH 直至 α = 1 仍有效？
• RQ4 SNLW 中二阶随机项的多重线性光滑性如何影响其适定性阈值？
• RQ5 SNLW 的适定性阈值是否早于尺度预测值（α = 3/4），表明其破坏比抛物情形更为严重？

主要发现

• 当 0 < α < 1/2 时，SNLW 局部适定，且 1/4 阶多重线性光滑性使证明得以简化。
• 当 α ≥ 1/2 时，SNLW 不适定，原因在于其二阶随机项在取值于空间分布时关于时间不连续。
• SNLH 在 α < 1 时保持适定，但在 α = 1 时变得不适定，原因与随机项正则性的破坏相同。
• SNLW 的适定性阈值（α = 1/2）早于尺度预测值（α = 3/4），表明其行为比预期更差。
• SNLH 的适定性阈值（α = 1）也早于尺度预测值（α = 2），但 SNLW 的破坏更为严重。
• 本工作首次展示了在粗糙噪声下 SNLW 的表现不如 SNLH，揭示了双曲型与抛物型奇异 SPDE 解理论之间的根本差异。