[论文解读] Comparison Inequalities for Order Statistics of Gaussian Arrays

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文将经典的比较引理和斯莱皮安不等式推广至高斯数组的顺序统计量，推导出具有不同协方差结构的两个高斯数组的顺序统计量联合尾部概率差异的界。主要贡献在于建立了自相似高斯过程顺序统计量下尾行为的比较不等式，进而得到此类过程上确界的一类混合威布尔极限定理。

ABSTRACT

Normal comparison lemma and Slepian's inequality are essential tools in the study of Gaussian processes. In this paper we extend normal comparison lemma and derive various related comparison inequalities including Slepian's inequality for order statistics of two Gaussian arrays.The derived results can be applied in numerous problems related to the study of the supremum of order statistics of Gaussian processes. In order to illustrate the range of possible applications, we analyze the lower tail behaviour of order statistics of self-similar Gaussian processes and derive mixed Gumbel limit theorems.

研究动机与目标

• 将经典的比较不等式（如正态比较引理和斯莱皮安不等式）推广至高斯数组顺序统计量的设定。
• 推导出具有不同协方差矩阵的两个高斯数组的顺序统计量联合分布函数差异的界。
• 分析自相似高斯过程（特别是分数布朗运动）的顺序统计量下尾行为。
• 建立高斯过程的第 r 阶顺序统计量过程上确界的混合威布尔极限定理。
• 为极值理论中的应用提供理论基础，特别是在捕获时间与追捕过程等问题中。

提出的方法

• 通过多变量正态比较引理的推广，推导出两个高斯数组的顺序统计量向量累积分布函数差异的比较不等式。
• 应用普莱特内的偏微分方程框架，分析依赖结构，并通过相关系数的反正弦变换导出界。
• 利用协方差矩阵 Σ^(1) 和 Σ^(0) 的结构，通过正相关差异的索引对之和来界定差值 Δ_(r)(u) = P(X_(r) ≤ u) - P(Y_(r) ≤ u)。
• 通过自相似性与长程依赖性，将第 r 阶顺序统计量过程上确界的下尾行为与极值极限联系起来，建立渐近结果。
• 将推导出的界应用于 Hurst 指数为 α/2 的分数布朗运动，表明上确界的下尾以 x^(2p_{r:n,α}/α + o(1)) 的速率衰减，当 x ↓ 0 时。
• 使用具有修改相关函数的辅助高斯过程及基于网格的采样方法，控制尾部概率，并证明其在极限下趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将斯莱皮安不等式和正态比较引理推广至具有不同协方差结构的高斯数组顺序统计量情形？
• RQ2 两个高斯数组的顺序统计量联合分布函数差异的精确界是什么？
• RQ3 自相似高斯过程的第 r 阶顺序统计量过程上确界的渐近下尾行为如何？
• RQ4 在何种条件下，此类过程上确界的下尾行为服从混合威布尔极限分布？
• RQ5 当过程受独立分数布朗运动扰动时，第 r 阶顺序统计量过程的尾部概率行为如何？

主要发现

• 本文推导出两个高斯数组的顺序统计量联合分布函数差异的比较不等式，其界由涉及相关系数差异反正弦变换的索引对之和界定。
• 分数布朗运动第 r 阶顺序统计量过程上确界的下尾概率满足 P(sup_{t∈[0,1]} B_{r:n,α}(t) ≤ x) = x^{2p_{r:n,α}/α + o(1)}，当 x ↓ 0 时，其中 p_{r:n,α} ≥ 0。
• 当受独立分数布朗运动扰动时，差值过程上确界的下尾概率衰减为 x^{2q_{r:n,α}/α + o(1)}，其中 q_{r:n,α} ≥ 0。
• 通过与可分平稳高斯过程耦合及修改相关函数，将结果推广至非平稳和非高斯过程。
• 通过基于网格的采样方法，并与具有修改相关函数的辅助过程比较，建立了尾部概率的渐近行为。
• 证明依赖于构造具有有界相关函数的辅助高斯过程，并应用极值理论，证明某些尾部概率在极限下趋于零。