[论文解读] Comparison Methods for a Keller--Segel-type Model of Pattern Formations with Density-suppressed Motilities

Kentarou Fujie, Jie Jiang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 27被引用 16

一句话总结

本文提出一种新颖的比较原理，用于分析具有密度抑制运动性的Keller–Segel型模型，证明了当运动性函数γ(v)为正、单调递减且在无穷远处趋于零时，其退化现象不可能在有限时间内发生。对于n ≤ 3，该模型全局经典解存在且在时间上一致有界。在二维情形下存在临界质量现象：亚临界质量可保证全局有界性，而超临界质量则导致解在无穷远处无界——这与经典Keller–Segel模型的有限时间爆破形成鲜明对比。

ABSTRACT

This paper is concerned with global existence as well as infinite-time blowups of classical solutions to the following fully parabolic kinetic system \begin{equation} \begin{cases} u_t=Δ(γ(v)u) v_t-Δv+v=u \end{cases} \qquad(0.1)\end{equation} in a smooth bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. This model was recently proposed in [8,20] to describe the process of stripe pattern formations via the so-called self-trapping mechanism. The system features a signal-dependent motility function $γ(\cdot)$, which is decreasing in $v$ and will vanish as $v$ tends to infinity. The major difficulty in analysis comes from the possible degeneracy as $v earrow+\infty.$ In this work we develop a new comparison method different from the conventional energy method in literature, which reveals a striking fact that there is no finite-time degeneracy in this system. More precisely, we use comparison principles for elliptic and parabolic equations to prove that degeneracy cannot take place in finite time in any spatial dimensions for all smooth motility functions satisfying $γ(s)>0$, $γ'(s)\leq0$ when $s\geq0$ and $\lim\limits_{s ightarrow+\infty}γ(s)=0.$ Then we investigate global existence of classical solutions to (0.1) when $n\leq3$ and discuss the uniform-in-time boundedness under certain growth conditions on $1/γ.$ In particular, we consider system (0.1) with $γ(v)=e^{-v}$. We prove that classical solution always exists globally, which must be uniformly-in-time bounded with arbitrary initial data of sub-critical mass. On the contrary, with certain initial data of super-critical mass, the solution will become unbounded at time infinity which differs from the finite-time blowup behavior of the Keller--Segel model.

研究动机与目标

• 为解决完全抛物型Keller–Segel型模型中运动性函数γ(v)随v → ∞而递减并趋于零时的退化挑战。
• 克服传统能量方法在γ(v)发生退化时难以建立v的统一有界性的局限。
• 在γ(s) > 0、γ′(s) ≤ 0且lim_{s→∞} γ(s) = 0的一般运动性函数条件下，研究经典解的全局存在性与时间一致有界性。
• 澄清解的长期行为，特别是在二维情形下，不同初始质量条件下的表现。
• 证明该模型表现出与经典Keller–Segel模型不同的临界质量现象：超临界质量导致解在无穷远处无界，而非有限时间爆破。

提出的方法

• 为椭圆与抛物型方程发展一种新的比较原理，不同于标准能量方法，以分析系统而不依赖于u的L^p可积性。
• 该方法利用系统的结构特性，直接推导出v的上界，避免对γ(v)的衰减速率或对γ′的有界性做出假设。
• 分析聚焦于抛物-椭圆极限情形与完整抛物系统，特别关注γ(v) = e^{-v}的情形，该情形与经典Keller–Segel模型保持相同的平衡态与李雅普诺夫泛函。
• 作者通过径向分布与对数截断构造精心设计的初始数据，以检验临界质量阈值的紧致性。
• 使用李雅普诺夫泛函分析长期行为，并通过反证法：假设全局有界性成立，进而导出该泛函下确界被违反的矛盾。
• 证明依赖于构造具有大质量与高浓度的初始数据，以迫使李雅普诺夫泛函低于所有可能的平衡态的下确界，从而通过反证法证明无界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当γ(v) → 0（v → ∞）时，尽管系统具有抛物结构与信号依赖扩散，运动性函数γ(v)是否可能在有限时间内发生退化？
• RQ2 当n ≤ 3时，系统是否对所有初始数据都存在全局经典解，特别是当γ(v)快速衰减（如e^{-v}）时？
• RQ3 在二维情形下，解的长期行为如何？与经典Keller–Segel模型在爆破或有界性方面有何不同？
• RQ4 是否存在一个临界质量阈值，将二维情形下的全局有界性与无界性区分开来？该阈值与经典模型的有限时间爆破相比如何？
• RQ5 即使不存在有限时间爆破，李雅普诺夫泛函是否可用于证明超临界质量初始数据在无穷远处的无界性？

主要发现

• 对于任意光滑、正定、单调递减且满足lim_{s→∞} γ(s) = 0的γ(v)，其运动性函数在有限时间内不会发生退化，无论空间维数如何。
• 当n ≤ 3时，只要运动性函数满足所述条件，全局经典解存在且在时间上一致有界。
• 在二维情形下，系统表现出临界质量现象：亚临界质量的解保持全局有界，而超临界质量的解在t → ∞时趋于无界。
• 当γ(v) = e^{-v}时，系统与经典Keller–Segel模型具有相同的平衡态与李雅普诺夫泛函，但长期行为本质不同：不会发生有限时间爆破。
• 临界质量阈值是紧致的：质量超过8π的初始数据可导致解在无穷远处无界，且该阈值与初始数据的空间分布无关，只要质量为超临界即可。
• 通过构造具有大质量与集中分布的初始数据，可使李雅普诺夫泛函低于所有可能的平衡态的下确界，从而通过反证法证明无界性。