[论文解读] Comparison of Domain Wall Fermion Multigrid Methods

Peter Boyle, Azusa Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于递归切比雪夫多项式的新型多网格设置方案，用于域墙费米子，证明在使用现代GPU的大体积模拟中，求解两倍标准Shamir域墙费米子系统的设置与求解时间，均快于单次红黑预条件共轭梯度求解。该方法在传统求解器上实现了显著加速，尤其在将多网格设置成本分摊至多个Hasenbusch行列式因子时表现更优，标志着向手征费米子的HMC加速迈出了关键一步。

ABSTRACT

We present a detailed comparison of several recent and new approaches to multigrid solver algorithms suitable for the solution of 5d chiral fermion actions such as Domain Wall fermions in the Shamir formulation, and also for the Partial Fraction and Continued Fraction overlap. Our focus is on the acceleration of gauge configuration sampling, and a compact nearest neighbour stencil is required to limit the calculational cost of obtaining a coarse operator. This necessitates the coarsening of a nearest neighbour operator to preserve sparsity in coarsened grids, unlike HDCG. We compare the approaches of HDCR and the Multigrid algorithm and also several new hybrid schemes. In this work we introduce a new recursive Chebyshev polynomial based setup scheme. We find that the HDCR approach, can both setup, and solve standard Shamir Domain Wall Fermions faster than a single solve with red-black preconditioned Conjugate Gradients on large volumes and for modern GPU systems such as the Summit supercomputer. This is promising for the acceleration of HMC, particularly if setup costs are shared across multiple Hasenbusch determinant factors. The setup scheme is likely generally applicable to other Fermion actions.

研究动机与目标

• 通过改进手征费米子作用量（特别是域墙费米子）的多网格求解器，加速格点QCD中的规范组态采样。
• 解决在五维手征费米子系统中多网格设置与粗网格算符构造的高计算成本问题。
• 实现高效、可扩展的多网格求解器，采用紧凑的最近邻星形，以限制大体积模拟中的计算开销。
• 评估并比较多种多网格方法（包括混合方案）在五维域墙和重叠费米子作用量中的表现。
• 探索在HMC中将多网格设置成本分摊至多个Hasenbusch行列式因子的可行性。

提出的方法

• 提出一种基于递归切比雪夫多项式的多网格设置方案，以高效生成粗网格子空间，降低设置成本，同时保持收敛特性。
• 采用两种主要方法：一种基于厄米特域墙算符的粗化（Yamaguchi:2016kop），另一种基于威尔逊算符的粗化（Brower:2020xmc），两者均支持最近邻粗化以保持稀疏性。
• 提出一种混合粗化方案，结合一级基于威尔逊算符的粗化与二级基于五维域墙算符的粗化，以降低粗网格空间的成本。
• 为粗网格算符采用紧凑的五维星形，以保持计算效率，避免使用平方算符带来的非局部星形所导致的高成本。
• 在多网格循环中使用GCR算法作为平滑器，结果显示其在$M^{ar{ar{M}}}$和混合方案中性能优于BiCGSTAB。
• 在Grid库中实现多网格框架，并在Summit超级计算机上使用$16^3 \times 32$和$48^3 \times 96$测试体积进行基准测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于递归切比雪夫的多网格设置方案是否能将域墙费米子系统的总求解成本降低至低于在大格点上使用红黑预条件共轭梯度求解的成本？
• RQ2 当扩展至具有最近邻粗化的4D $SU(3)$规范理论时，Yamaguchi:2016kop与Brower:2020xmc方法的性能表现如何比较？
• RQ3 在HMC中，多网格设置成本能在多大程度上分摊至多个Hasenbusch行列式因子，从而实现净性能提升？
• RQ4 为何非厄米特多网格方法（如MG-PV）无法超越标准求解器？需要何种改进才能使其具备可行性？
• RQ5 结合四维与五维粗化的混合粗化方案是否能降低粗网格空间成本，同时保持求解器效率？

主要发现

• 在$48^3 \times 96$体积上，所提出的方法在设置和求解两倍标准Shamir域墙费米子系统方面，均快于单次红黑预条件共轭梯度求解。
• 混合粗化方案（算法F）将精细矩阵乘法次数从19,082次减少至2,744次，显著提升了非红黑求解器的效率。
• GCR算法在多网格循环中作为平滑器，表现优于BiCGSTAB，尤其在$M^{ar{ar{M}}}$和混合方案中表现更优。
• 设置成本与四维格点体积成正比，而非五维系统，从而降低了手征费米子的扩展惩罚。
• 当将设置成本分摊至多个Hasenbusch行列式因子时，该方法在性能上实现了相对于红黑CG的净增益，表明其在HMC加速方面具有强大潜力。
• 非厄米特多网格方法（MG-PV）仍因粗网格空间成本过高而表现无效，表明此类方案仍需进一步发展才能具备竞争力。