[论文解读] Comparison of dynamical degrees for semi-conjugate meromorphic maps

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên|ArXiv.org|Mar 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了在射影流形 $X$ 上的半共轭亚纯映射 $f$ 的动力度量与在基流形 $Y$ 上诱导的映射 $g$ 的动力度量以及相对于纤维化 $ \pi: X \to Y$ 的相对动力度量之间精确的公式关系。关键结果为 $d_p(f) = \max_{\max\{0,p-k+l\} \leq j \leq \min\{p,l\}} d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$，该结果解决了 Hasselblatt-Propp (2007) 提出的问题，并蕴含 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$，其应用包括对双有理几何中 Kodaira 维数的约束以及动力度量的对数凹性分析。

ABSTRACT

Let f be a dominant meromorphic self-map on a projective manifold X which preserves a meromorphic fibration pi: X --> Y of X over a projective manifold Y. We establish formulas relating the dynamical degrees of f, the dynamical degrees of f relative to the fibration and the dynamical degrees of the self-map g on Y induced by f. Applications are given.

研究动机与目标

• 理解当亚纯映射 $f$ 在射影流形 $X$ 上保持一个纤维化 $\pi: X \to Y$ 时，$f$ 与在基流形 $Y$ 上诱导的映射 $g$ 之间的动力关系。
• 建立 $f$ 的动力度量 $d_p(f)$ 与 $g$ 的动力度量 $d_j(g)$ 以及 $f$ 相对于 $\pi$ 的相对动力度量 $d_{p-j}(f|\pi)$ 之间的精确公式关系。
• 解决 Hasselblatt-Propp (2007) 中问题 9.3，即在该类纤维化中是否恒有 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$。
• 将结果应用于约束具有不同连续动力度量的映射所存在的流形的 Kodaira 维数。
• 推广已知的共轭映射结果，并将其扩展至半共轭情形，尤其适用于紧致 Kähler 流形上的全纯与亚纯映射。

提出的方法

• 作者利用 Hodge 上同调，并研究 $f$ 的迭代在 $H^{p,p}(X,\mathbb{R})$ 上的作用，将 $(f^n)^*$ 的范数增长与动力度量联系起来。
• 他们将相对动力度量 $d_p(f|\pi)$ 定义为 $(f^n)^*$ 在 $ \pi$ 的一般纤维上支持的类上的增长速率，使用子空间 $H^{l+p,l+p}_\pi(X,\mathbb{R})$。
• 证明依赖于正闭当前与通过 $\pi$ 和 $\Pi$ 拉回 Kähler 形式的方法，利用 Lefschetz 对偶性与 Poincaré 对偶性估计质量增长。
• 他们应用了动力度量的对数凹性（来自 Khovanskii、Teissier 与 Gromov 的已知结果）以推导度量的结构约束。
• 关键技术步骤涉及估计 $(f^n)^*\Pi^*(\omega^{p-j}) \wedge \Pi^*(\omega^{k-l-p+j})$ 在一般纤维上的质量，将其与 $\lambda_j(g^n)$ 和 $a_{p-j,p-j}(n)$ 关联。
• 他们使用归纳法与通过 $b_p(rn)$ 和 $\mu_p(n)$ 的渐近估计，将 $d_p(f)$ 控制在 $d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$ 的乘积形式内，从而导出最大值公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 半共轭亚纯映射 $f$ 在 $X$ 上的动力度量如何与在 $Y$ 上诱导的映射 $g$ 的动力度量以及相对于纤维化 $\pi: X \to Y$ 的相对动力度量相关？
• RQ2 在 Hasselblatt-Propp (2007) 的问题 9.3 中所提出的不等式 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ 是否对半共轭映射成立？
• RQ3 若 $f$ 具有不同连续的动力度量，则这对 $X$ 的 Kodaira 维数施加了何种约束？
• RQ4 在半共轭条件下，$f$ 的动力度量能否被完全分解为 $g$ 的度量与 $f|\pi$ 的相对度量的乘积？
• RQ5 在何种条件下，$d_p(f)$ 的对数凹性可推出 $d_p(g)$ 与 $d_p(f|\pi)$ 的类似对数凹性？

主要发现

• 主要公式为 $d_p(f) = \max_{\max\{0,p-k+l\} \leq j \leq \min\{p,l\}} d_j(g) \cdot d_{p-j}(f|\pi)$，精确地将 $f$ 的动力度量与 $g$ 的度量以及相对于纤维化的相对度量联系起来。
• 不等式 $\max d_p(f) \geq \max d_p(g)$ 成立，为 Hasselblatt-Propp (2007) 中的问题 9.3 提供了肯定回答。
• 若 $f$ 具有不同连续的动力度量，则 $g$ 与 $f|\pi$ 的相对动力度量也具有不同连续的度量，从而保持了动力系统的非退化性。
• 若 $X$ 允许一个具有不同连续动力度量的主导亚纯映射，则 $X$ 的 Kodaira 维数必为 $0$ 或 $-\infty$，此结论通过 Iitaka 纤维化与 $g$ 成为周期映射（即 $d_j(g) = 1$）的性质得以证明。
• 当 $X$ 与 $Y$ 维数相同时，$f$ 与 $g$ 的动力度量相等，推广了 Sibony 与 Dinh 以及 Nakayama-Zhang 的结果。
• 证明依赖于动力度量的对数凹性，以及当 $\kappa_X \geq 1$ 时，$f$ 在 Iitaka 纤维化上诱导的映射 $g$ 为周期映射，若 $f$ 具有不同连续度量，则此情形将导致矛盾。