[论文解读] Comparison theorems on H-type sub-Riemannian manifolds

Fabrice Baudoin, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文通过分析Riemann度量的典范变化，建立了H型sub-Riemannian流形的统一次Hessian与次Laplacian比较定理。证明了一个精确的sub-Riemannian Bonnet-Myers定理，该定理扩展了此前在接触与四元数接触流形上的结果，表明即使在sub-Riemannian极限下，曲率界也能给出有限直径估计。

ABSTRACT

On H-type sub-Riemannian manifolds we establish sub-Hessian and sub-Laplacian comparison theorems which are uniform for a family of approximating Riemannian metrics converging to the sub-Riemannian one. We also prove a sharp sub-Riemannian Bonnet-Myers theorem that extends to this general setting results previously proved on contact and quaternionic contact manifolds.

研究动机与目标

• 在H型sub-Riemannian流形上，为水平Laplacian与Hessian建立一族逼近Riemann度量下的统一比较估计。
• 克服经典Riemann比较定理在sub-Riemannian极限下失效的问题，原因在于典范变化中曲率无界。
• 为一般H型结构证明一个精确的sub-Riemannian Bonnet-Myers定理，扩展已知的接触与3-Sasakian流形结果。
• 证明sub-Riemannian极限下Riemann比较估计的收敛性，可在曲率条件下给出有限直径界。
• 在某些情形下可去除$J^2$条件，同时通过Hladky联络与典范变化的几何分析保持比较定理的有效性。

提出的方法

• 利用Riemann度量的典范变化$g_\varepsilon = g_\mathcal{H} \oplus \frac{1}{\varepsilon}g_\mathcal{V}$，当$\varepsilon \to 0$时收敛于sub-Riemannian度量。
• 应用Hladky联络及其关联的曲率与挠率，定义一个具有反对称挠率的度量相容联络，以用于比较分析。
• 推导出对所有$\varepsilon > 0$均成立的水平Laplacian$\Delta_\mathcal{H} r_\varepsilon \leq F_\varepsilon(r_\varepsilon)$的统一比较定理，其中$F_\varepsilon$在$\varepsilon \to 0$时收敛于有限极限。
• 利用指标引理与测地线上的Jacobi场分析，将距离函数的Hessian在联络$D$下的比较与曲率及挠率项关联。
• 使用Hessian公式$\mathrm{Hess}^D(r)(X,X) = \int_0^r \left( \langle D_{\dot\gamma}V, \hat{D}_{\dot\gamma}V \rangle - \langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma, V \rangle \right) dt$，将曲率界与比较估计关联。
• 通过指标形式$I(W,W)$应用比较原理，并证明Hessian被任意与测地线正交的向量场$W$的指标形式上界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Riemann度量的典范变化下，为H型sub-Riemannian流形建立统一的次Hessian与次Laplacian比较定理？
• RQ2 由于逼近度量中曲率发散，经典Laplacian比较定理是否在sub-Riemannian极限下失效？若如此，能否构造一个统一的替代形式？
• RQ3 能否在不假设$J^2$条件的情况下，为一般H型流形证明一个精确的sub-Riemannian Bonnet-Myers定理？
• RQ4 当$\varepsilon \to 0$时，Riemann比较估计的极限在sub-Riemannian设定下是否有限且有意义？
• RQ5 H型结构上的曲率界如何转化为sub-Riemannian极限下的直径界？

主要发现

• 本文建立了形式为$\Delta_\mathcal{H} r_\varepsilon \leq \frac{N(\varepsilon)}{r_\varepsilon}$的统一次Laplacian比较定理，对所有$\varepsilon > 0$成立，其中$N(\varepsilon)$渐近最优，且当$\varepsilon \to 0$时收敛于有限常数。
• 证明了一个精确的sub-Riemannian Bonnet-Myers定理：若水平Ricci曲率有下界$(2d+2)\kappa$，则sub-Riemannian直径至多为$\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}}$（$\kappa > 0$），扩展了接触与3-Sasakian流形的结果。
• Hessian比较定理具有一致性：$\mathrm{Hess}^D(r)(X,X) \leq \int_0^r \left( \langle D_{\dot\gamma}V, \hat{D}_{\dot\gamma}V \rangle - \langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma, V \rangle \right) dt$，当$V$为Jacobi场时取等。
• Riemann比较估计在sub-Riemannian极限下的极限是有限且精确的，解决了经典估计在$\varepsilon \to 0$时发散的问题。
• 通过使用Hladky联络与指标引理，结合具有反对称挠率的度量相容联络，可在比较定理中去除$J^2$条件。
• 典范变化的度量诱导出一族Riemann结构，其曲率在$\varepsilon \to 0$时发散，但比较估计仍保持一致有界，并收敛于有意义的sub-Riemannian极限。