[论文解读] Comparisons between periodic, analytic and local cyclic cohomology

Ralf Meyer|ArXiv.org|May 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文比较了紧李群光滑卷积代数的周期、解析与局部循环上同调理论，揭示尽管这些代数具有有限上同调维数，解析与周期上同调仍存在差异。关键结果是：从周期上同调到解析上同调的自然映射在 $ C^{\infty}(K) $ 上并非满射，这与Khalkhali对具有有限上同调维数的巴拿赫代数所得出的已知结果相矛盾。

ABSTRACT

We compute periodic, analytic and local cyclic cohomology for convolution algebras of compact Lie groups in order to exhibit differences between these theories. A surprising result is that the periodic and analytic cyclic cohomology of the smooth convolution algebras differ, although these algebras have finite homological dimension.

研究动机与目标

• 研究非交换几何中周期、解析与局部循环上同调理论之间的差异。
• 检验Khalkhali关于有限上同调维数代数中周期与解析循环上同调一致的结果是否可推广至核弗雷歇代数。
• 通过比较 $ \mathcal{H}(K) $、$ C^\infty(K) $ 与 $ C^\ast(K) $，阐明光滑子代数在循环上同调中的作用。
• 建立从K-理论到 $ C^\infty(K) $ 和 $ C^\ast(K) $ 的解析循环上同调的Chern-Connes示性类的满射性。
• 探讨其对非交换几何中Baum-Connes猜想与庞加莱对偶性的影响。

提出的方法

• 计算紧李群卷积代数的周期、解析与局部循环上同调，以 $ K = S^1 $ 作为原型。
• 利用双不变局部循环上同调的广义系数定理，证明 $ \operatorname{HL}_\ast(\mathcal{H}(K)) $、$ \operatorname{HL}_\ast(C^\infty(K)) $ 与 $ \operatorname{HL}_\ast(C^\ast(K)) $ 之间的同构。
• 通过自然变换 $ \operatorname{ch}: \operatorname{K}^\ast(A) \to \operatorname{HA}^\ast(A) $ 在解析循环上同调中应用Chern-Connes示性类，适用于分离的 $ C^\ast $-代数。
• 分析 $ \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ 中Chern-Connes示性类的像，表明其映满 $ \mathbb{C}^{\hat{K}} $，从而推出其对局部上同调的满射性。
• 利用 $ C^\infty(K) $ 的双投影性计算其Hochschild与循环上同调，但表明其周期上同调无法同构映射。
• 利用 $ \mathcal{H}(K) \cong \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \mathbb{C} $ 与 $ C^\infty(S^1) \cong \mathcal{S}(\mathbb{Z}) $ 的结构，分析有界性与赋范结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有限上同调维数的核弗雷歇代数，周期与解析循环上同调是否一致？
• RQ2 光滑子代数的选择如何影响周期与解析循环上同调的行为？
• RQ3 Chern-Connes示性类从K-理论到 $ C^\infty(K) $ 和 $ C^\ast(K) $ 的解析循环上同调是否为满射？
• RQ4 $ C^\infty(K) $ 的局部循环上同调能否通过K-理论完全描述，其与周期上同调的关系如何？
• RQ5 冯·诺依曼赋范结构与精细赋范结构在区分解析与周期上同调中起何作用？

主要发现

• 自然映射 $ \operatorname{HP}^\ast(C^\infty(K)) \to \operatorname{HA}^\ast(C^\infty(K)) $ 不是满射，表明尽管 $ C^\infty(K) $ 具有有限上同调维数，其周期与解析上同调仍存在差异。
• Chern-Connes示性类 $ \operatorname{ch}: \operatorname{K}^0(C^\ast(K)) \otimes \mathbb{C} \to \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ 是满射，其与到局部上同调的映射的复合给出典范映射 $ \mathbb{C}^{\hat{K}} \to \mathbb{C}^{\hat{K}} $，其像由 $ \mathbb{C} $ 的有限生成子群中的序列构成。
• $ \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ 中Chern-Connes示性类的像包含 $ \ell^1(\hat{K}, \dim) $，且由于 $ \mathbb{C} $ 具有稠密的有限生成子群，此类序列与 $ \ell^1 $-序列的和覆盖了整个 $ \mathbb{C}^{\hat{K}} $，从而证明了 $ \operatorname{HA}^\ast(C^\ast(K)) \to \operatorname{HL}^\ast(C^\ast(K)) $ 的满射性。
• 对于 $ \mathcal{H}(K) $，由于其直和结构，三种上同调理论——周期、解析与局部——在上同调与同调中均一致。
• $ \operatorname{HP}^\ast(C^\infty(K)) \to \operatorname{HA}^\ast(C^\infty(K)) $ 不是同构的事实表明，$ C^\infty(K) $ 不够“小”，无法通过周期循环上同调描述de Rham上同调；必须退化到 $ \mathcal{H}(K) $。
• 解析与局部循环上同调在 $ C^\infty(K) $ 与 $ C^\ast(K) $ 上同构，但这并不意味着其与周期上同调一致，凸显了这些理论之间的根本性差异。