[论文解读] Complementary Dual Subfield Linear Codes Over Finite Fields

Kriangkrai Boonniyom, Somphong Jitman|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文研究并分析了在域大小为平方数（$q = r^2$）时，有限域上的两类线性码：赫尔米特互补对偶码与迹赫尔米特互补对偶子域线性码。文章建立了在这些结构下，码为互补对偶的充要条件，提供了生成此类码的构造方法，并给出了其参数与示例，为具有改进对偶性质的量子与经典纠错码理论作出了贡献。

ABSTRACT

Two families of complementary codes over finite fields $\mathbb{F}_q$ are studied, where $q=r^2$ is square: i) Hermitian complementary dual linear codes, and ii) trace Hermitian complementary dual subfield linear codes. Necessary and sufficient conditions for a linear code (resp., a subfield linear code) to be Hermitian complementary dual (resp., trace Hermitian complementary dual) are determined. Constructions of such codes are given together their parameters. Some illustrative examples are provided as well.

研究动机与目标

• 研究域大小为平方数（$q = r^2$）的有限域上互补对偶线性码的结构与性质。
• 定义并表征两类新码类：赫尔米特互补对偶线性码与迹赫尔米特互补对偶子域线性码。
• 确定线性码（或子域线性码）为赫尔米特或迹赫尔米特互补对偶的必要与充分条件。
• 提供此类码的显式构造并分析其参数，包括维数与最小距离。
• 为自对偶与互补对偶码的理论作出贡献，其在量子与经典编码理论中具有应用价值。

提出的方法

• 本文利用有限域（阶为平方数）上的赫尔米特内积来定义线性码的对偶性与互补性。
• 引入子域线性码的迹赫尔米特对偶概念，将对偶性从全域扩展至基子域。
• 通过赫尔米特形式下生成矩阵的秩与核，推导出码为赫尔米特互补对偶的必要与充分条件。
• 对于子域线性码，通过从 $\mathbb{F}_q$ 到 $\mathbb{F}_r$ 的迹映射定义迹赫尔米特对偶，并相应建立互补性的条件。
• 提供基于生成矩阵与 $\mathbb{F}_q$ 上代数构造的构造方法，确保对偶码与原码的交集为平凡。
• 通过已知码族显式构造示例，并验证其满足互补对偶条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{F}_q$ 上的线性码（$q = r^2$），其为赫尔米特互补对偶的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何利用迹映射将对偶性概念从全域扩展至子域线性码，以定义迹赫尔米特对偶？
• RQ3 同时为子域线性码与迹赫尔米特互补对偶的码的结构与参数特性为何？
• RQ4 能否提供具有已知参数（维数、最小距离）的此类码的显式构造？
• RQ5 这些构造与编码理论中已有的自对偶或互补对偶码族有何关联？

主要发现

• 给出了 $\mathbb{F}_q$ 上线性码（$q = r^2$）为赫尔米特互补对偶的充要条件，其以赫尔米特内积下生成矩阵的秩与核来表示。
• 对于子域线性码，本文利用从 $\mathbb{F}_q$ 到 $\mathbb{F}_r$ 的迹映射，建立了迹赫尔米特互补对偶的等价条件。
• 提供了赫尔米特互补对偶码的显式构造，包括具有特定参数如 $[n,k,d]$ 与 $q = r^2$ 的示例，证明了其可行性。
• 本文提出了迹赫尔米特互补对偶子域线性码，其参数源自已知的经典码，展示了其存在性与结构。
• 示例验证了理论条件与构造的有效性，包括对偶码与原码交集为平凡的情况。
• 结果将已知互补对偶码的类别扩展至具有迹赫尔米特对偶的子域线性码，丰富了量子与经典码设计的理论体系。