[论文解读] Complete Segal Objects

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文引入了在$(∞,1)$-范畴中作为内部高阶范畴对象的完整塞加尔对象，利用可表示的笛卡尔纤维化来发展伴随、极限以及这些对象的基本定理。它将普遍性推广到非可表示的局部笛卡尔闭范畴中，扩展了[GK17]的结果，并表明普遍性映射分类有界的局部类。

ABSTRACT

We define complete Segal objects, which play the role of internal higher category objects. Then we study them using representable Cartesian fibrations, in particular defining adjunctions and limits of complete Segal objects. Finally we use Segal objects to define univalence in a locally Cartesian closed category that is not presentable and generalize some previous results to the non-presentable setting.

研究动机与目标

• 在一般$(∞,1)$-范畴中定义完整塞加尔对象作为内部$(∞,1)$-范畴。
• 通过在非必然可表示的局部笛卡尔闭范畴中定义普遍性，将普遍性理论扩展到可表示范畴之外。
• 使用可表示的笛卡尔纤维化，为完整塞加尔对象发展范畴论，包括伴随和极限。
• 将[GK17]中关于普遍性的结果推广到非可表示的设定，特别是在初等拓扑斯和高阶范畴中。
• 提供一个框架，通过塞加尔对象中的完备性条件对普遍性映射进行分类，即使对象不是$0$-截断的。

提出的方法

• 将完整塞加尔对象定义为满足塞加尔条件和完备性条件的单纯对象，将其作为完整塞加尔空间的推广。
• 使用可表示的笛卡尔纤维化来建模由完整塞加尔对象表示的预层，从而在该设定下实现广义的Yoneda引理。
• 通过可表示的笛卡尔纤维化理论和Reedy纤维化替换，构造完整塞加尔对象的伴随和极限。
• 建立“完整塞加尔对象的基本定理”，将表示性、纤维化与伴随联系起来。
• 通过映射分类对象的完备性来定义普遍性，将普遍性条件推广到非可表示的范畴中。
• 将该框架应用于初等拓扑斯，表明普遍性映射对应于子对象分类器的子对象，并指出在分类非单射普遍性映射时的局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将完整塞加尔空间的概念内化为$(∞,1)$-范畴中的范畴对象，以定义内部高阶范畴？
• RQ2 当环境范畴不可表示时，普遍性映射可在哪些设定中被定义和分类？
• RQ3 可表示的笛卡尔纤维化在为完整塞加尔对象发展范畴论（如伴随、极限）中起什么作用？
• RQ4 塞加尔对象中的完备性与普遍性之间有何关系？这一联系能否推广到不可表示范畴之外？
• RQ5 初等拓扑斯中普遍性映射的理论能否扩展到包含高阶范畴设定中的非单射普遍性映射？

主要发现

• 完整塞加尔对象被定义为满足塞加尔条件和完备性条件的单纯对象，将其作为内部高阶范畴中完整塞加尔空间的推广。
• 完整塞加尔对象的基本定理建立了可表示的笛卡尔纤维化与完整塞加尔对象之间的对应关系，从而在该语境下实现了Yoneda引理。
• 通过可表示的笛卡尔纤维化，构造了完整塞加尔对象的伴随和极限，将经典范畴论扩展到了$(∞,1)$-范畴设定。
• 通过分类对象的完备性来定义普遍性，将普遍性推广到非可表示的局部笛卡尔闭$(∞,1)$-范畴中。
• 在初等拓扑斯中，普遍性映射被证明恰好对应于子对象分类器的子对象，且普遍映射$u:1\to\Omega$被证明是普遍的。
• 该框架揭示，由于$0$-截断性，经典初等拓扑斯无法对非单射普遍性映射进行分类，从而凸显了构建‘初等高阶拓扑斯’以分类所有普遍性映射的必要性。