[论文解读] Complete Weight Enumerators of Some Linear Codes

Shudi Yang, Zheng‐an Yao|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文确定了有限域上两类线性码 $C_D$ 及其推广形式 $C_{D,b}$ 的完整权重枚举函数，该类码通过迹函数和特定定义集 $D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ 定义。利用高斯和与有限域上二次型的性质，作者推导出完整权重枚举函数的显式公式，进而得到这些码的权重分布，其在密码学和秘密共享方案中具有应用价值。

ABSTRACT

Linear codes have been an interesting topic in both theory and practice for many years. In this paper, for an odd prime $p$, we determine the explicit complete weight enumerators of two classes of linear codes over $\mathbb{F}_p$ and they may have applications in cryptography and secret sharing schemes. Moreover, some examples are included to illustrate our results.

研究动机与目标

• 确定奇素数 $p$ 下有限域 $\mathbb{F}_p$ 上线性码 $C_D$ 和 $C_{D,b}$ 的完整权重枚举函数。
• 研究这些码的权重分布，尤其关注其在密码学和秘密共享方案中的应用。
• 通过利用高斯和与二次型理论，扩展先前关于权重枚举函数的研究，提供显式、闭式表达式。
• 建立定义集 $D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ 的结构与关联线性码的完整权重枚举函数之间的联系。

提出的方法

• 作者将码 $C_D$ 定义为 $\{ (\mathrm{Tr}(ad_1), \dots, \mathrm{Tr}(ad_n)) : a \in \mathbb{F}_{p^m} \}$，其中 $D$ 是 $\mathbb{F}_{p^m}$ 中非零元且迹为零的集合。
• 他们利用迹函数 $\mathrm{Tr}: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$，并借助高斯和的性质，计算 $\mathrm{Tr}(x^2) = 0$ 和 $\mathrm{Tr}(ax) = \rho$（$\rho \in \mathbb{F}_p$）的解的数量。
• 通过遍历所有码字，根据每个域元素在码字中出现的次数，构建完整权重枚举函数。
• 对于推广码 $C_{D,b}$，作者在每个坐标上引入常数偏移 $b \in \mathbb{F}_p$，并通过相应调整权重贡献，推导出完整权重枚举函数。
• 推导过程根据 $\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ 或 $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$，以及 $\rho = 0$ 或 $\rho \neq 0$ 的情况区分处理，利用已知的指数和结果。
• 最终通过引理14及解的数量 $n_a(\rho)$ 的结果，推导出完整权重枚举函数的表达式，其依赖于 $m$ 的奇偶性及 $\mathrm{Tr}(a^2)$ 的取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_p$ 上，由 $D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ 定义的线性码 $C_D$ 的完整权重枚举函数是什么？
• RQ2 包含常数偏移 $b \in \mathbb{F}_p$ 的推广码 $C_{D,b}$ 的完整权重枚举函数与 $C_D$ 的有何不同？
• RQ3 $C_D$ 和 $C_{D,b}$ 的权重分布是什么？它们如何依赖于参数 $p$、$m$ 以及 $\mathrm{Tr}(a^2)$ 的取值？
• RQ4 能否利用高斯和与二次型理论，显式计算出该类码的完整权重枚举函数？
• RQ5 这些枚举函数在密码学和秘密共享方案中的应用有何影响？

主要发现

• 对于奇数和偶数 $m$，均显式确定了 $C_D$ 的完整权重枚举函数，其公式因 $\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ 或 $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$，以及 $\rho = 0$ 或 $\rho \neq 0$ 而异。
• 当 $m$ 为奇数时，若 $\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ 且 $\rho = 0$，解的数量 $n_a(\rho)$ 为 $p^{m-2} - 1$；若 $\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ 且 $\rho \neq 0$，则为 $p^{m-2}$；当 $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ 时，需加入修正项 $(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{p-1}{2}}$ 和 $\bar{\eta}(\mathrm{Tr}(a^2))$。
• 当 $m$ 为偶数时，解数 $n_a(\rho)$ 包含涉及 $(-1)^{\frac{m}{2}(\frac{p-1}{2})^2}$ 的修正项，导致 $\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ 和 $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ 时的表达式不同，分别为 $p^{m-2} - 1$ 和 $p^{m-2} - (-1)^{\cdots}p^{\frac{m-2}{2}}$。
• $C_{D,b}$ 的完整权重枚举函数通过遍历所有 $b \in \mathbb{F}_p$ 推导得出，每个项均偏移 $b$，结果为形如 $\sum_{b=0}^{p-1} w_b^{n_a(0)} w_{1+b}^{n_a(1)} \cdots w_{p-1+b}^{n_a(p-1)}$ 的和，从而考虑了每个坐标上的常数偏移。
• $C_D$ 的权重分布被证实具有两个或三个非零权重，与文献[27]中的结果一致；而 $C_{D,b}$ 的非零权重数为五个或七个，具体取决于 $p$ 和 $m$ 的取值。
• 通过示例验证了结果，且完整权重枚举函数在分析认证码中的欺骗概率以及设计秘密共享方案中被证明具有关键作用。