[论文解读] Completely bounded maps into certain Hilbertian operator spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了从C*-代数到复 interpolation 空间 $(C,R)_\theta$（其中 $0 < \theta < 1$）的完全有界映射的分解准则，表明此类映射完全有界当且仅当其在定义代数上的状态涉及的某种加权范数不等式成立。关键结果将 $\theta = 1/2$ 时的 Grothendieck 型分解推广至所有 $\theta \in (0,1)$，且当 $\theta \to 0$ 或 $\theta \to 1$ 时常数趋近于 1，从而恢复了列与行希尔伯特空间的经典情形。证明利用了非半有限冯诺依曼代数中的广义自由高斯系统与复 interpolation，且应用于证明 $(C,R)_\theta$ 无法完全同构地嵌入到任何半有限冯诺依曼代数的对偶中。

ABSTRACT

We prove a factorization of completely bounded maps from a $C^*$-algebra $A$ (or an exact operator space $E\subset A$) to $\ell_2$ equipped with the operator space structure of $(C,R)_θ$ ($00$ such that \[ \forall a\in A\quad \|ua\|^2\le C f(a^*a)^{1-θ}g(aa^*)^θ.\] This extends the case $θ=1/2$ treated in a recent paper with Shlyakhtenko. The constants we obtain tend to 1 when $θ o 0$ or $θ o 1$. We use analogues of "free Gaussian" families in non semifinite von Neumann algebras. As an application, we obtain that, if $0

研究动机与目标

• 将完全有界映射到 $\ell_2$ 且具有 $(C,R)_{1/2}$ 算子空间结构的分解定理推广至所有插值参数 $\theta \in (0,1)$。
• 刻画 $R \oplus C$ 的子空间何时完全同构地嵌入到某半有限冯诺依曼代数的对偶中。
• 证明对于 $0 < \theta < 1$，插值空间 $(C,R)_\theta$ 无法完全同构地嵌入到任何半有限冯诺依曼代数的对偶中。
• 通过插值方法，为 Junge 关于 $OH$ 完全同构嵌入到非交换 $L_1$-空间的定理提供一种新证明。

提出的方法

• 通过列与行希尔伯特空间 $C$ 和 $R$ 之间的复 interpolation 定义 $\ell_2$ 上的算子空间结构，即对 $0 < \theta < 1$，有 $(C,R)_\theta$。
• 在非半有限冯诺依曼代数中引入广义自由高斯族，以建模非交换高斯变量的类比。
• 通过涉及 $A$ 上两个状态 $f,g$ 和常数 $C > 0$ 的范数不等式，建立完全有界映射 $u: A \to F = (C,R)_\theta$ 的分解准则，其中 $\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$。
• 应用对偶性与 interpolation 技巧，将 $R \oplus C$ 的子空间的对偶与非交换 $L_p$-空间联系起来。
• 利用非交换 Khintchine 不等式与 interpolation 估计，控制 $S_p[OH_n]$ 中的算子范数，并推导出完全有界 Banach-Mazur 距离的下界。
• 通过复 interpolation 与 Shlyakhtenko 的广义圆对称系统，修改 Junge 的原始论证，为 $OH$ 嵌入非交换 $L_1$-空间提供统一证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $\theta \in (0,1)$，插值空间 $(C,R)_\theta$ 可以完全同构地嵌入到某半有限冯诺依曼代数的对偶中？
• RQ2 子空间 $S \subset R \oplus C$ 的精确刻画为何，使得其对偶 $S^*$ 可完全同构地嵌入到某半有限冯诺依曼代数 $M$ 的对偶 $M_*$ 中？
• RQ3 完全有界映射到 $(C,R)_\theta$ 的分解定理能否推广至 $\theta = 1/2$ 之外？
• RQ4 $OH$ 是否可完全同构地嵌入到非交换 $L_1$-空间中？若可以，能否通过 interpolation 与自由概率方法证明？
• RQ5 对于 $E$ 为非交换 $L_q$-空间的子空间，完全有界 Banach-Mazur 距离 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta)$ 的渐近行为如何？

主要发现

• 完全有界映射 $u: A \to F = (C,R)_\theta$ 的特征由 $A$ 上存在状态 $f,g$ 及常数 $C > 0$ 决定，使得对所有 $a \in A$，有 $\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$，且当 $\theta \to 0$ 或 $\theta \to 1$ 时，常数 $C$ 趋近于 1。
• 对于 $0 < \theta < 1$，插值空间 $(C,R)_\theta$ 无法完全同构地嵌入到任何半有限冯诺依曼代数的对偶中，推广了 Junge 的一个结果。
• 唯一满足 $S^*$ 可完全同构地嵌入到某半有限冯诺依曼代数 $M$ 的对偶 $M_*$ 中的子空间 $S \subset R \oplus C$ 为 $S = R$，$S = C$，$S = R \cap C$，以及由这些构成的直和。
• 完全有界 Banach-Mazur 距离满足 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta) \geq (2B_q)^{-1} n^{\beta/2}$，其中 $q > \max\{p, p'\}$，$p = (1-\theta)^{-1}$，$p' = \theta^{-1}$，且 $\beta = \min\{p^{-1} - q^{-1}, p'^{-1} - q^{-1}\}$。
• 空间 $OH$ 可完全同构地嵌入到非交换 $L_1$-空间中，且该结果通过复 interpolation 与广义自由高斯系统得到重新证明，统一了早期方法。