[论文解读] Completely bounded representations of convolution algebras of locally compact quantum groups

Michael Brannan, Matthew Daws+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 48被引用 16

一句话总结

本文研究了与局部紧量子群相关的卷积代数的完全有界表示，证明了表示 π 与 ∗-同态相似当且仅当 π 及其对偶 π* 均为完全有界。关键贡献是一个对偶性结果，表明与 π 关联的共表示 Vπ 的可逆性等价于 π 与 π* 的完全有界性，将经典傅里叶代数结果推广至量子情形。

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we study the structure of completely bounded homomorphisms $π:L^1(\mathbb G) ightarrow\mathcal B(H)$, and the question of when they are similar to $\ast$-homomorphisms. By analogy with the cocommutative case (representations of the Fourier algebra $A(G)$), we are led to consider the associated map $π^*:L^1_\sharp(\mathbb G) ightarrow \mathcal B(H)$ given by $π^*(ω) = π(ω^\sharp)^*$. We show that the corepresentation $V_π$ of $L^\infty(\mathbb G)$ associated to $π$ is invertible if and only if both $π$ and $π^*$ are completely bounded. Moreover, we show that the co-efficient operators of such representations give rise to completely bounded multipliers of the dual convolution algebra $L^1(\hat \mathbb G)$. An application of these results is that any (co)isometric corepresentation is automatically unitary. An averaging argument then shows that when $\mathbb G$ is amenable, $π$ is similar to a *-homomorphism if and only if $π^*$ is completely bounded. For compact Kac algebras, and for certain cases of $A(G)$, we show that any completely bounded homomorphism $π$ is similar to a *-homomorphism, without further assumption on $π^*$. Using free product techniques, we construct new examples of compact quantum groups $\mathbb G$ such that $L^1(\mathbb G)$ admits bounded, but not completely bounded, representations.

研究动机与目标

• 通过研究 L¹(𝐺) 的完全有界表示，将迪克曼相似性问题推广至局部紧量子群。
• 通过对偶映射 π* 描述此类表示与 ∗-同态相似的条件。
• 建立可逆共表示与联合完全有界表示 π 和 π* 之间的对偶性。
• 证明此类表示的系数算子在对偶卷积代数 L¹(Ĝ) 上产生完全有界乘子。
• 利用自由积技术构造新的紧致量子群，其上 L¹(𝐺) 具有有界但非完全有界的表示。

提出的方法

• 通过 π*(ω) = π(ω♯)* 在 L¹♯(𝐺) 上定义对偶映射 π*，将 π 扩展至对合封闭子空间上的映射。
• 利用共表示理论，为每个表示 π: L¹(𝐺) → ℬ(H) 关联一个有界算子 Vπ ∈ L∞(𝐺) ⊗ ℬ(H)。
• 利用对偶性和无界反演算子 S 的性质，证明 Vπ 可逆当且仅当 π 与 π* 均为完全有界。
• 应用 L¹(Ĝ) 上完全有界乘子的理论，证明 π 的系数算子诱导出此类乘子。
• 在可均情形下使用平均化论证，证明 π 与 ∗-同态相似当且仅当 π* 为完全有界。
• 通过紧致量子群的自由积构造新例子，以展示有界但非完全有界的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于局部紧量子群 𝐺，何时一个完全有界表示 π: L¹(𝐺) → ℬ(H) 与 ∗-同态相似？
• RQ2 在量子群表示的背景下，π 与 π* 的完全有界性之间存在何种关系？
• RQ3 可逆共表示 Vπ 如何与 π 和 π* 的完全有界性相关联？
• RQ4 π 的系数算子在对偶卷积代数 L¹(Ĝ) 的乘子理论中起什么作用？
• RQ5 自由积构造能否产生紧致量子群，使得 L¹(𝐺) 允许有界但非完全有界的表示？

主要发现

• 若 𝐺 可均，则表示 π: L¹(𝐺) → ℬ(H) 与 ∗-同态相似当且仅当 π 与 π* 均为完全有界。
• 在 L∞(𝐺) ⊗ ℬ(H) 中，共表示 Vπ 可逆当且仅当 π 与 π* 均为完全有界。
• 当 π 与 π* 均为完全有界时，π 的系数算子在对偶卷积代数 L¹(Ĝ) 上生成完全有界乘子。
• 对于紧致卡类代数及 A(G) 的某些情形，每个完全有界同态 π 均与 ∗-同态相似，无需假设 π* 为完全有界。
• 通过自由积技术，作者构造了紧致量子群，其上 L¹(𝐺) 允许有界但非完全有界的表示。
• 结果的一个应用表明，任何（共）等距共表示自动为酉表示。