[论文解读] Completely positive maps of order zero

Wilhelm Winter, Joachim Zacharias|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 131

一句话总结

本文引入并表征了C*-代数之间完全正的零阶映射——即保持正元素正交性的映射。它建立了一个结构定理，表明此类映射与从定义代数的锥代数到目标代数的*-同态之间存在一一对应关系，从而实现泛函演算，并证明张量积与迹泛函的复合保持零阶性质。其主要贡献在于，零阶映射在Cuntz半群之间诱导出有序半群同态，为从半群层面提升映射到C*-代数映射提供了桥梁。

ABSTRACT

We say a completely positive contractive map between two C*-algebras has order zero, if it sends orthogonal elements to orthogonal elements. We prove a structure theorem for such maps. As a consequence, order zero maps are in one-to-one correspondence with *-homomorphisms from the cone over the domain into the target algebra. Moreover, we conclude that tensor products of order zero maps are again order zero, that the composition of an order zero map with a tracial functional is again a tracial functional, and that order zero maps respect the Cuntz relation, hence induce ordered semigroup morphisms between Cuntz semigroups.

研究动机与目标

• 发展C*-代数之间完全正有界（c.p.c.）零阶映射的一般结构理论，扩展先前仅限于有限维域的成果。
• 建立c.p.c.零阶映射与从定义代数的锥代数到目标代数的*-同态之间的一一对应关系。
• 证明零阶映射保持关键结构，如张量积、迹泛函以及Cuntz子等价关系。
• 证明零阶映射自然诱导出Cuntz半群之间的同态，从而为从半群层面提升映射到C*-代数映射提供新框架。

提出的方法

• 将零阶映射定义为保持正元素正交性的c.p.c.映射：若在A+中a ⊥ b，则在B+中φ(a) ⊥ φ(b)。
• 证明一个结构定理，表明每个c.p.c.零阶映射φ: A → B均可分解为φ = h^{1/2} π_φ h^{1/2}，其中h ∈ B+与φ的像可交换，π_φ为从A到φ(A)生成的C*-代数的乘子代数的*-同态。
• 利用锥的普遍性质，建立c.p.c.零阶映射与从锥代数C₀(A)到B的*-同态之间的一一对应关系。
• 利用该分解证明，零阶映射的张量积仍是零阶的，且与迹泛函的复合仍保持迹性。
• 证明零阶映射保持Cuntz子等价关系，因此在Cuntz半群W(A)与W(B)之间诱导出良定的有序半群同态。
• 将结果推广至双对偶，证明任意c.p.c.零阶映射φ的双对偶映射φ**仍是零阶的，且结构定理在冯诺依曼代数设定下仍成立，同时保持正规性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般非有限维设定下表征C*-代数之间完全正有界映射的零阶性质？
• RQ2 c.p.c.零阶映射的精确结构形式是什么？其与*-同态及锥构造有何关系？
• RQ3 零阶映射在复合下是否保持张量积与迹泛函？
• RQ4 零阶映射是否能诱导出Cuntz半群之间的良定同态？若能，这与从半群层面提升映射到C*-代数层面有何关联？
• RQ5 是否存在类似于正规元连续泛函演算的零阶映射泛函演算？

主要发现

• 每个c.p.c.零阶映射φ: A → B均可唯一分解为φ = h^{1/2} π_φ h^{1/2}，其中h ∈ B+与φ的像可交换，π_φ为从A到M(C)的*-同态，C = C*(φ(A))。
• c.p.c.零阶映射从A到B与从锥代数C₀(A)到B的*-同态之间存在自然的一一对应关系。
• c.p.c.零阶映射的张量积仍是零阶的，包括到矩阵代数的张量化。
• c.p.c.零阶映射与正迹泛函的复合仍是迹泛函，且对2-拟迹也成立。
• 零阶映射在Cuntz半群W(A)与W(B)之间诱导出良定的、保序的、半群同态W(φ): W(A) → W(B)。
• 任意c.p.c.零阶映射φ的双对偶映射φ**仍是零阶的，且结构定理可推广至双对偶。