[论文解读] Completely positive tensor decomposition

Jinyan Fan, Anwa Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种半定规划算法，用于判断一个对称张量是否为完全正定，并在是的情况下，无需预先知晓分解长度即可计算其非负分解。通过将问题表述为E-截断K矩问题，该方法利用凸优化验证完全正定性，并在不满足时提供证明，实现了在测试案例中的收敛性和高效的数值性能。

ABSTRACT

A symmetric tensor, which has a symmetric nonnegative decomposition, is called a completely positive tensor. We consider the completely positive tensor decomposition problem. A semidefinite algorithm is presented for checking whether a symmetric tensor is completely positive. If it is not completely positive, a certificate for it can be obtained; if it is completely positive, a nonnegative decomposition can be obtained.

研究动机与目标

• 解决判断一般对称张量是否为完全正定这一基本问题。
• 开发一种方法，在张量非完全正定时提供证明。
• 在张量为完全正定时，无需预先假设分解长度即可计算其非负分解。
• 通过基于矩的凸优化，将完全正定矩阵的理论推广至高阶张量。
• 为实际张量分解提供一种数值高效且收敛的算法。

提出的方法

• 将问题重新表述为E-截断K矩问题，将张量与非负象限上的截断矩序列联系起来。
• 通过矩矩阵和局部化矩阵构建一系列半定松弛，以逼近原始问题。
• 采用保持秩的同伦策略迭代优化解，确保收敛至有效分解。
• 利用完全正定张量与共正定张量之间的对偶性，通过半定规划测试其在对偶锥中的成员资格。
• 基于松弛层次的收敛性设计停止准则，确保在获得证明或分解后终止。
• 通过热启动策略和自适应参数选择实现算法实现，以提升数值效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不预先知晓分解长度的情况下，高效判断一般对称张量是否为完全正定？
• RQ2 当对称张量非完全正定时，如何生成证明？
• RQ3 在张量分解背景下，E-截断K矩问题的半定松弛方案的收敛行为如何？
• RQ4 能否通过凸优化在不预先假设秩的情况下，计算完全正定张量的非负分解？
• RQ5 与现有张量分解方法相比，所提算法在准确性和效率方面表现如何？

主要发现

• 所提出的半定规划算法成功判断了对称张量的完全正定性，并在非完全正定时提供证明。
• 对于完全正定张量，该算法无需输入分解长度即可计算非负分解。
• 在数值实验中，所有测试张量（包括五阶和四阶示例）均在3–4次迭代内收敛。
• 在合成测试案例中，计算得到的分解与真实底层分解一致，验证了准确性。
• 该方法高效处理了阶数为4和5、维度最高达10的张量，展示了良好的可扩展性。
• 所有情况下均实现了高精度，测试示例中的分解误差均低于1e-6。